Методические аспекты автоматической генерации задач по линейной алгебре
9
обычно первый корень кубического многочлена ищут подбором, по
крайней мере, одно из собственных значений должно быть целым
числом в пределах от
3
до
3
. В качестве матрицы
P
подойдет лю-
бая невырожденная матрица. При вычислении
1
P
в знаменателе
оказывается
det ,
P
и элементы матрицы
A
могут оказаться не целы-
ми, что значительно усложнит задачу. Бороться с этим явлением
можно двумя способами, либо взять матрицу
P
с определителем,
равным единице (алгоритм составления таких матриц приведен вы-
ше), либо выбирать все или некоторые
,
i
кратные
det .
P
Получен-
ную матрицу проверяем на наличие избыточно больших элементов и
нулей. Кроме того, полезно проверить характеристический много-
член на наличие больших коэффициентов.
Описанный способ без существенных изменений может быть
обобщен для построения матриц операторов большей размерности.
Наибольшую трудность здесь представляет составление таких задач,
чтобы найти корни характеристического многочлена было не очень
трудно.
Важным преимуществом автоматической генерации также явля-
ется возможность составления подробных ответов, что обычно явля-
ется весьма трудоемкой задачей при составлении задач вручную. В
частности, в описанной задаче можно не только указать собственные
векторы и собственные значения, но и явно выписать характеристи-
ческий многочлен, чтобы преподаватель легко мог обнаружить
ошибку при его составлении.
6. Квадратичные формы.
Матрицы квадратичных форм преоб-
разуются по формуле
T
A P AP
, где
А
и
A
— матрицы квадратич-
ной формы в старом и новом базисе соответственно, но в отличие от
операторов часто требуется, чтобы матрица
P
была ортогональной:
1
T
T
P P P P E
. В этом случае
T
A PA P
. Некоторые методы
генерирования ортогональных матриц любого размера описаны в
конце статьи и в [10].
Генерация задачи о построении
кривой второго порядка
, задан-
ной в виде квадратичной формы, не представляет трудности. Соста-
вим матрицу квадратичной формы в виде
T
PDP
, где
D
– диагональ-
ная матрица, а
P
– ортогональная матрица. Для двумерного случая
матрица
2
2
1
a b
P
b a
a b
,
все вычисления можно провести в целых числах. Компенсировать
деление на определитель можно умножением на него собственных
значений.
