Методические аспекты автоматической генерации задач по линейной алгебре
5
Ранг матрицы (3) равен
r
при
0
и
1
r
при
0
. Приба-
вим к (
1
r
)-й строке случайную линейную комбинацию первых
r
(базисных) строк. Подвергнем все строки кроме (
1
r
)-й перемеши-
ванию. Помимо перечисленных выше проверок строка и столбец по-
лученной матрицы, содержащие параметр ,
не должны становиться
пропорциональными другим строкам и столбцам после выбрасыва-
ния элементов, стоящих на месте
q
(для строк) и
1
r
(для столбцов)
соответственно. В противном случае найти
0
окажется очень легко.
4. Алгоритм генерации СЛАУ.
Способ генерации матриц с за-
данным рангом
r
лежит в основе алгоритма генерации задач на реше-
ние СЛАУ.
Пусть требуется составить СЛАУ из
n
строк и
m
столбцов ранга
r
(
,
r m
r n
). Построим матрицу системы вида (2). Добавим слу-
чайный столбец
В
в правой части:
1
,
1
0
.
0
1
0
0 0
i j
r
b
k
E D B
b O O O
(4)
Легко показать, что решение этой системы уравнений имеет вид
1
2
1
1
0
,
...
1
0
0
0
j
m r
r
j
r j
j
n
b
x
D B
x
b
X
c
CE O
x
k
(5)
где матрица
D
состоит из столбцов
1
j
j
rj
k
k
k
,
1
...
m r
c
C
c
— столбец
произвольных констант, а
1
r j
означает, что элемент
1
стоит на
(
r
+
j
)-м месте. Затем, аналогично предыдущему алгоритму подверг-
нем матрицу перемешиванию строк. Поскольку при элементарных
преобразованиях решение СЛАУ не меняется, ответ по-прежнему за-
дается формулой (5). Для дополнительного усложнения задачи мож-
но переставить столбцы в левой части СЛАУ (и соответственно стро-
