Я.Ю. Коновалов, С.К. Соболев, М.А. Ермолаева
10
Аналогично организуем генерацию условий задачи об исследова-
нии знакоопределенности квадратичной формы от двух переменных
в зависимости от значения параметра. Составим ее матрицу в виде
,
T
PDP
где
D
— диагональная матрица, на диагонали у которой сто-
ят многочлены первой степени, а
P
— обратная матрица перехода.
Практика показала, что относительно небольшие коэффициенты ча-
ще всего получаются в случае, когда столбцы матрицы
P
ортого-
нальны, хотя в качестве
P
подойдет любая невырожденная матрица.
Формально перемножая матрицы, получим требуемую квадратичную
форму. Аналогично можно получить квадратичные формы более вы-
сокой размерности для случаев, в которых не требуется ортогональ-
ность преобразования
,
P
например для исследования знакоопреде-
ленности квадратичной формы.
К сожалению, применение приведенного выше алгоритма для ге-
нерации матриц квадратичных форм в случае, когда матрица
P
должна быть ортогональной, затруднительно. Например, в задаче о
приведении квадратичной формы к диагональному виду ортогональ-
ным преобразованием оказывается проще рассмотреть частный слу-
чай, дающий тем не менее достаточно обширный набор задач.
Для генерации условий задачи о диагонализации квадратичной
формы ортогональным преобразованием рассмотрим три квадратич-
ные формы:
2
2
2
2
2
0
0 0
,
0 ,
0
0
0 0 0
0 0
a ab ac
b ab
d
A ab b bc
B ab a
C d
ac bc c
d
.
Все они имеют собственные векторы
1
2
3
2
2
,
,
0
a
b
ac
b
a
bc
c
a b
e
e
e
со следующими наборами собственных значений:
для
A
:
2
2
2
, 0, 0 ,
b c
a
для
B
:
2
2
0,
, 0 ,
b a
для С:
, ,
.
d d d
Тогда их линейная комбинация
A B C
с теми же собственными
векторами будет иметь собственные значения
2
2
2
a b c d
для
1
e
,
2
2
a b d
для
2
e
и
d
для
3
e
соответственно. К полученной
квадратичной форме предъявляются те же требования, что и к операто-
ру: не очень большие коэффициенты матрицы и характеристического
многочлена, одно из собственных значений по модулю меньше либо
