Я.Ю. Коновалов, С.К. Соболев, М.А. Ермолаева
2
нения были целыми, а не, скажем
13 137 .
19
Кроме того, возникает
много других «методических» ограничений, на которых мы подробно
остановимся ниже.
В литературе проблема генерирования задач по математике об-
суждается давно [1 — 4]. Отметим, что многие реально работающие
генераторы устроены так: имеется большой банк уже готовых задач
на разные темы, и при генерировании варианта, состоящего из набора
задач на заданные темы, задачи из банка выбираются случайно.
В настоящей работе описаны результаты создания генератора
именно самих задач с ответами (окончательными и промежуточны-
ми). Мы ограничились задачами, так или иначе связанными с матри-
цами: ранг матрицы и системы векторов, обратная матрица, матрич-
ные уравнения, системы линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ), в том числе и с параметром, приведение матрицы линейного
оператора к диагональному виду, приведение квадратичной формы к
каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.
Широко известны способы составления задач «от обратного»,
когда условие задачи строится по заданному ответу. Например,
квадратное уравнение с корнями
1
x
и
2
x
можно составить в виде
1
2
a x x x x
.
Для решения задач, связанных с матрицами и системами линей-
ных уравнений (СЛАУ), широко применяется метод элементарных
преобразований. Используя его в способе «от обратного» можно ге-
нерировать условия задач при помощи относительно простых алго-
ритмов.
Напомним, что элементарными преобразованиями матрицы
называются прибавление к одной строке (столбцу), матрицы другой
строки (столбца), умноженной на некоторое число, умножение стро-
ки (столбца) матрицы на любое число, не равное нулю, перестановка
строк (столбцов). Известно [5–8], что при элементарных преобразо-
ваниях не меняется ранг матрицы, а при первом из преобразований у
квадратных матриц сохраняется определитель. Кроме того, при эле-
ментарных преобразованиях строк расширенной матрицы СЛАУ не
меняется множество ее решений.
Ниже описаны алгоритмы, которые успешно применены на прак-
тике для автоматической генерации задач и формирования из них ва-
риантов КР и ДЗ по аналитической геометрии и линейной алгебре.
1. Алгоритм генерации матриц с заданным определителем.
Пусть требуется построить матрицу размера
n n
с определителем
d
.
Возьмем верхнетреугольную матрицу
А
, у которой один из диаго-
нальных элементов равен
,
d
а остальные 1 (звездочкой обозначены
произвольные случайные числа).
