Я.Ю. Коновалов, С.К. Соболев, М.А. Ермолаева
4
единицы, и применим алгоритм построения матрицы с заданным
определителем, описанный выше. Выполнение требования несим-
метричности матрицы
A
обеспечивается дополнительной проверкой.
Матрицу
X
(размером
n m
, не обязательно квадратную) составля-
ем из случайных чисел, находим
B
как
B AX
и проверяем ее на
наличие избыточно больших элементов. Аналогичным образом со-
ставляем матричные уравнения вида
XA B
и
.
AXB C
В послед-
нем случае матрицы
Х
и
С
имеют одинаковые размеры.
3. Задачи на ранг и линейную зависимость.
Алгоритм генера-
ции матричных уравнений можно применить для генерации матриц с
заданным рангом
.
r
Для этого составим матрицу
А
, состоящую из
единичной матрицы
E
порядка
,
r
прямоугольной матрицы
D
случай-
ных чисел
,
i j
k
размера
(
)
r m r
и (
n r
) нулевых строк:
,
1
0
.
0
1
0
0
i j
k
E D
A
O O
(2)
Ранг этой матрицы равен
r
. Подвергнем строки матрицы пере-
мешиванию. Полученная матрица также имеет ранг
r
. После этого
имеет смысл поделить каждую строку на наибольший общий дели-
тель ее элементов. Это увеличит вероятность того, что матрица прой-
дет проверку на максимальное значение элементов. Кроме того,
необходимо проверить количество нулей и убедиться в отсутствии
пропорциональных строк или столбцов, так как их наличие суще-
ственно упрощает задачу нахождения ранга. Если задачу планируется
решать методом окаймляющих миноров, имеет смысл произвести пе-
рестановку столбцов, распределив первые
r
столбцов по матрице,
чтобы усложнить поиск базисного минора.
В контрольных работах по теме «Матрицы и СЛАУ» в МГТУ
им. Н.Э. Баумана, а также в [9] присутствует задача о нахождении
ранга матрицы в зависимости от параметра. Рассмотрим алгоритм ее
генерации. Модифицируем матрицу (2), добавив в (
1
r
)-ю строчку
на место с номером
q r
элемент
0
.
Получим
,
0
1 0
0 1
.
0 0
0
0
0
i j
k
(3)
