Методические аспекты автоматической генерации задач по линейной алгебре
11
равно трем. Последнее требование легко обеспечить уже на этапе гене-
рации, выбирая подходящие
,
и
.
d
7. Генерация ортогональных матриц произвольного порядка.
1-й метод. Каждую ортогональную матрицу
Q
порядка
п
можно
представить в виде произведений простейших матриц поворота
( )
ij
R
в плоскости
i j
x x
, где
1
i j n
,
:
1
0
0
0
0
0
cos
0
sin
0
( )
.
0
0
1
0
0
0
sin
0
cos
0
0
0
0
0
1
ij
i
R
j
i
j
Таким образом, всякая ортогональная матрица
Q
есть произведе-
ние
1 ( 1)
2
n n
матриц такого вида, где все углы
ij
берутся из про-
межутка
[ ; ]
:
1
( )
ij
ij
i j n
Q R
.
(10)
2-метод. Произвольную ортогональную матрицу 3-го порядка
можно выразить через углы Эйлера
, , :
( , , )
cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin
sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos cos sin .
sin sin
sin cos
cos
Q
Для наших
учебных
целей достаточно генерировать ортогональные
матрицы небольшого размера (не более 6-го), и эти матрицы должны
получаться нормированием по возможности целочисленных матриц с
ненулевыми попарно ортогональными строками (или столбцами). В
таком случае косинусы углов надо выбирать не сложными, например,
1 1 1 2 3
, , , ,
2 3 3 5
2
.
