Я.Ю. Коновалов, С.К. Соболев, М.А. Ермолаева
8
0
СЛАУ равносильна (4) и ее решение есть (5). При
0
до-
бавляется условие
0,
r k
x
что приводит к выпадению из (5)
k
-го
столбца.
Отметим, что описанный выше алгоритм генерации условия задачи
на нахождение ранга матрицы в зависимости от параметра аналогичен
четвертому случаю алгоритма генерации СЛАУ с параметром.
Помимо собственно генерации СЛАУ приведенные алгоритмы
генерируют системы векторов и матрицы заданного ранга, что позво-
ляет использовать их при составлении различных задач на линейную
зависимость, и базисы. Кроме того, определители и СЛАУ широко
используются при решении многих задач аналитической геометрии,
следовательно, описанные алгоритмы применимы и для них.
5. Задачи на собственные значения.
В курсе линейной алгебры
ключевое положение занимают задачи нахождения собственных век-
торов и собственных значений линейных операторов и квадратичных
форм. Опишем алгоритмы их генерации.
Известно [5–9], что для любого линейного оператора в простран-
стве
n
найдется базис, в котором матрица линейного оператора
имеет жорданов вид, а матрица оператора в исходном базисе равна
1
A PJP
, где
J
– матрица оператора в жордановой форме, а
P
–
матрица перехода.
Для генерации задачи о нахождении собственных значений опе-
ратора в трехмерном вещественном пространстве построим матрицу
оператора как
1
A PJP
. Жорданова форма такого оператора может
быть одного из следующих четырех видов:
1
1
1
2
1
1
3
2
3
1
0 0
1 0
1 0
0
0
0 ,
0
0 ,
0
1 ,
0 .
0 0
0 0
0 0
0 0
В первом случае трем собственным значениям соответствуют три
собственных вектора — столбцы
1
,
p
2
,
p
3
p
матрицы перехода
;
P
во втором случае двум собственным значениям соответствуют соб-
ственные векторы
1
p
и
3
;
p
в третьем — единственному собственно-
му значению
1
соответствует вектор
1
;
p
четвертый случай соответ-
ствует наличию одного вещественного собственного значения
3
с
собственным вектором
3
p
и пары комплексных
1,2
.
i
В зави-
симости от требований конкретной задачи выбор случаев можно
ограничить. Например, для задачи о приведении оператора к диаго-
нальному виду нужно рассматривать только первый случай. Выберем
один из случаев и зададим целые
i
случайным образом. Поскольку
