В.И. Майорова, А.М. Банников, К.И. Зайцев
12
Решение оптимизационной задачи (11) в частотной области может
быть представлено следующим выражением [6]:
*
2
2
( , )
ˆ ( , )
( , ),
( , )
( , )
H u
F u
G u
H u
P u
ν
ν =
ν
ν + γ
ν
(13)
где параметр регуляризации γ должен быть выбран в соответствии
с (12), а функция
P
(
u
,
ν
) есть Фурье-преобразование функции
0 1 0
( , )
1 4 1 ,
0 1 0
p x y
−
= −
−
−
т. е. функции, с помощью которой определяется оператор Лапласа [1].
Подчеркнем, что при обращении параметра регуляризации γ в ноль
выражение (13) сводится к инверсной фильтрации.
Значения параметра регуляризации γ можно перебирать в интерак-
тивном режиме до тех пор, пока не будет получен приемлемый резуль-
тат. Однако для получения оптимального решения значение γ должно
быть выбрано таким образом, чтобы выполнялось условие связи (12).
Ниже приведена итеративная процедура такого выбора [1].
Определим вектор невязки
r
следующим образом:
ˆ .
= −
r g Hf
(14)
Поскольку решение ˆ ,( )
F u
ν
(и соответствующий ему вектор ˆ
f
),
определяемое по формуле (13), есть функция от параметра γ, вектор
невязки
r
также зависит от этого параметра. Можно показать, что функ-
ционал невязки
2
( )
T
r r r
ϕ γ = =
является монотонной функцией параметра γ [1]. Нам необходимо вы-
брать параметр γ таким образом, чтобы выполнялось условие
||
η
||
2
−
a
≤ ||
r
||
2
≤ ||
η
||
2
+
a
,
(15)
где коэффициент
a
задает приемлемую точность выполнения результата
связи. Если
a
= 0, имеет место ||
r
||
2
= ||
η
||
2
и вследствие (14) условие
(12) выполняется точно.
Поскольку функционал невязки φ(γ) является монотонной функ-
цией параметра регуляризации, нахождение искомого значения γ
не представляет трудности. Один из алгоритмов состоит в следу-
ющем [7].
