Таким образом, M-шаг сводится к вычислению весов компонентов
w
i
как средних арифметических и оцениванию параметров компонен-
тов
θ
i
путем решения
k
независимых оптимизационных задач. Условия
сходимости алгоритма EM рассматриваются в работах [9, 16, 18, 19].
Достаточно подробно в литературе описаны аналитические вы-
ражения для EM-алгоритма в случае разделения смеси нормальных
распределений, т.е., когда в качестве компонентов смеси выбираются
следующие:
p
i
(
x
) = (2
πσ
2
i
)
−
1
/
2
exp
−
1
2
σ
2
i
(
x
−
μ
i
)
2
.
В этом случае максимизация
Ξ =
{
Θ
, w
}
= (
θ
i
, w
i
)
k
i
=1
, где
θ
i
= (
μ
i
, σ
i
)
,
на
M
-шаге выполняется аналитически:
w
i
=
1
m
m
X
j
=1
g
ji
для всех
i
= 1
, . . . , k
;
μ
i
=
1
mw
i
m
X
j
=1
g
ji
x
i
для всех
i
= 1
, . . . , k
;
σ
2
i
=
1
mw
i
m
X
j
=1
g
ji
(
x
i
−
μ
i
)
2
для всех
i
= 1
, . . . , k.
Отталкиваясь от работоспособности MMPP-модели, необходимо
проверить EM-алгоритм для разделения смеси распределений Пуас-
сона, когда в качестве компонентов смеси выступают
p
i
(
x
) =
e
−
λ
i
λ
x
i
x
!
.
Пользуясь приведенным описанием E- и M-шагов EM-алгоритма и
методом CDLL (complete-data log-likelihood), описанным в [8, 9], для
максимизации
Ξ =
{
Θ
, w
}
= (
θ
i
, w
i
)
k
i
=1
, где
θ
i
=
λ
i
,
M-шаг также
выполняется аналитически:
w
i
=
1
m
m
X
j
=1
g
ji
для всех
i
= 1
, . . . , k
;
λ
i
=
m
X
j
=1
w
j
x
i
m
X
j
=1
w
j
для всех
i
= 1
, . . . , k.
Применение EM-алгоритма для восстановления смеси распределе-
ний требует задания числа компонентов
k
. В том случае, если
k
неиз-
144
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
1...,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 13,14,15,16,17,18,19,20