13 / 22
Возмущение температурного поля трещиной в полимерных материалах
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2017 13
где
/ ,
ξ =ρ
l
2
( , cos )
4 cos 4.
Φ ξ θ = ξ + ξ θ +
(23)
Функция
( , cos )
Φ ξ θ
связана с производящей функцией много-
членов Лежандра и может быть представлена рядом по этим
многочленам:
1
2
(cos )
( , cos ) 2 cos
( 1)
,
2 (2 1)
n
n
n
n
n
A
n
∞
−
=
θ
Φ ξ θ = + ξ θ + −
ξ
−
∑
(24)
где
2
(cos )
(cos )
(cos ),
−
θ =
θ −
θ
n
n
n
A
P
P
(25)
а
(cos )
θ
n
P
— многочлен Лежандра в тригонометрическом представ-
лении. В результате распределение температуры в окрестности
правой вершины трещины примет вид
( )
2
2
0
1/2
1
2
1
( , cos )
[ 4sin
(2cos cos 1)
2
(cos )
1
] sign .
2 (2 1)
∞
−
=
ξ θ = +
ξ
θ − ξ
θ − θ − +
λ
θ
+ −
ξ
θ
−
∑
T
T
n
n
n
n
n
q
T
T l
A
n
(26)
Формула (26) имеет преимущество перед формулой (22), так как
позволяет легко строить различные приближения по параметру
/ ,
ξ =ρ
l
т. е. исследовать температурное поле на различных расстоя-
ниях от вершины трещины. В частности, ограничивать членами вто-
рого порядка по
,
ξ
после некоторых преобразований получим
2
0
1 3 1
5
( , )
2 sin
sin
sin .
2 4 2 32
2
θ
θ
θ
ξ θ = +
ξ
+ ξ
− ξ
λ
T
T
q
T
T l
(27)
Эту формулу и будем использовать в дальнейшем анализе.
Определим величину градиента температурного поля в непос-
редственной близости от вершины трещины:
grad
.
∂ ∂
= +
∂ ∂
T T
T i
j
x
y
(28)
Дифференцируя формулу (27), получаем:
2
2
1
3
5
3
a)
1
sin
sin ;
4
2 32
2
2
1
3
5
3
б)
1
cos
cos .
4
2 32
2
2
T
T
T
T
q T
x
q T
y
∂
θ
θ
= −
− ξ
+ ξ
∂
λ ξ
∂
θ
θ
=
+ ξ
− ξ
∂ λ ξ
(29)