7 / 16
Моделирование вязкоупругих характеристик пенопластов
…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2016 7
формулам для всех значений частоты
ω
в рассматриваемом диапа-
зоне
min
max
ω < ω < ω
. Предложим алгоритм для восстановления по
тензор-функции эффективного тензора ядер релаксации композита
4
( )
τ
K
, который связан с ним соотношением вида (2):
4
4
4
( )
( ),
∗
∗
ω = − ω
C С K
4
4
0
( )
( )
.
i
e d
(∞
∗
− ωτ
ω =
τ
τ
∫
K
K
(19)
Сделаем основное предположение, что тензор ядер релаксации
композита
4
( )
τ
K
также имеет экспоненциальный вид, как и исход-
ные компоненты композита. Это предположение достаточно обосно-
вано и может быть математически строго показано. Физически это
предположение обосновано тем, что вязкоупругие процессы в компо-
зите как системные различных компонентов определяются вязко-
упругими свойствами отдельных его компонентов. Для того чтобы
записать тензор-функции композита
4
( )
τ
K
в виде суммы экспонент,
надо учесть тип анизотропии композита, который получается в ре-
зультате решения локальных задач вязкоупругости и расчета по фор-
мулам (13) и (15).
Если композит является изотропным материалом с нерелаксиру-
ющим объемом, то тензор
4
( )
τ
K
имеет вид (5):
4
1
( ) 2 ( )
.
3
G
t
K t
=
− ⊗ ( ∆
K
E E
(20)
Эффективное ядро релаксации аппроксимируем суммой экспонент
/
1
( )
.
N
t
G
K t
A e
γ
− τ
γ
γ =
=
∑
(21)
Тогда этой функции будет соответствовать комплексный модуль
сдвига композита:
*
/
//
G G iG
= +
,
/
2
1
1 ( )
N
A
G G
γ
γ
γ =
= (
( ωτ
∑
,
//
2
1
.
1 ( )
n
A
G
γ γ
γ
γ =
ωτ
=
( ωτ
∑
(22)
Выберем далее в качестве спектра времен релаксации
γ
τ
совокуп-
ность всех различных времен релаксации всех компонентов композита:
,
γ
τ
1, ..., ,
M
γ =
1
...
N
M n
n
= + +
. Спектр релаксации композита
A
γ
вы-
числяем из условия наилучшей аппроксимации комплексного модуля
сдвига
*
1212
( ),
C
ω
определенного численным способом по формулам
(22) и (13):