Моделирование вязкоупругих характеристик пенопластов на основе многомасштабного конечно-элементного анализа

3 / 16

Моделирование вязкоупругих характеристик пенопластов…
Инженерный журнал: наука и инновации # 11·2016 3
лаксации, причем для большинства твердых сред объемной релакса-
цией можно пренебречь [5, 13].
Тогда тензоры 4С и 4 ( )t K можно представить в следующем
виде [13]:
4 2 2 ;
3
K G G  
= − ⊗ + ∆  
  C E E 4 1
( ) 2 ( ) ,
3 G t K t  
= − ⊗ ( ∆  
  K E E (3)
где ∆ — единичный тензор 4-го ранга; E — метрический тензор.
После подстановки соотношений (2) в выражения (1) получаем
4 2
( ) ( ) 2 ( ) .
3
K G G ∗ ∗ ∗  
ω = − ω ⊗ ( ω ∆ 
  C E E    (4)
Комплексный модуль сдвига:
( ) ( )
G G G K∗ ∗ ω = − ω  ;
0
( ) ( ) i
G G K K e d
(∞
∗ − ωτ
ω = τ τ ∫   , (5)
Принимаем для функции релаксации ( )
G K t модель экспонен-
циальных ядер [13]:
/
1
( ) ,
n
t
G K t A e γ − τ
γ
γ =
= ∑ (6)
где Aγ , γ τ — вязкоупругие константы материала — спектр
релаксации и спектр времен релаксации соответственно.
Тогда для G∗ — комплексного модуля сдвига в зависимости от
приведенной частоты колебаний запишем следующее аналитическое
выражение:
* / // , G G iG= + /
2
1 1 ( )
N A
G G γ
γ γ =
= (
( ωτ ∑ 
, //
2
1
.
1 ( )
n A
G γ γ
γ γ =
ωτ
=
( ωτ ∑ (7)
В рамках рассмотренной модели вязкоупругие характеристики
изотропных материалов характеризуются следующим набором
констант: , , G K Aγ , γ τ , 1 2, , a a 1, ..., m N γ = . Комплексный модуль
упругости матрицы E∗ и комплексный коэффициент Пуассона ∗
ν
вычисляют по формулам, формально совпадающим с формулами для
упругих констант [4, 13]:
9 ,
3
KG E
K G
∗
∗
∗ =
+
3 2 .
6 2
K G
K G
∗
∗
∗
−
ν =
+
(8)
Метод асимптотического осреднения для вязкоупругих мате-
риалов с периодической структурой. Пенопласты обладают ярко