4 / 16
Ю.И. Димитриенко, И.Д. Димитриенко, С.В. Сборщиков
4
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2016
выраженной микроструктурой, близкой к регулярной, с наличием
большого числа повторяющихся ячеек — ячеек периодичности (ЯП).
Для такой периодической структуры можно применить метод асимпто-
тического осреднения [15, 18, 19]. Примем, что ЯП пенопласта состоит
из двух компонентов: полимерного материала, из которого образованы
стенки пенопласта, и пустоты (поры), которую будем моделировать
также твердым веществом с фиктивными упругими характеристиками,
существенно более низкими, чем соответствующие упругие характе-
ристики полимера. Пусть на границах раздела
S
Σ
компонентов
выполняются условия идеального контакта
[ ]
0
∗
⋅ =
σ n
;
[ ] 0
∗
=
u
, (9)
где [ ] — скачок функций. Тогда для композита в целом можно
сформулировать задачу (6), но тензор комплексных модулей упруго-
сти
4
∗
C
будет зависеть еще и от координат, в качестве которых выбе-
рем локальные координаты
ξ
ЯП композита [14, 16, 18, 19], тогда
4
4
( , )
∗
∗
= ω
C C ξ
. Введем малый параметр
/
k l L
=
, где
l —
характерный
размер ЯП,
L —
глобальный размер конструкции из ПКМ,
x
— гло-
бальные координаты, связанные с локальными координатами соотно-
шением
/
k
=
ξ x
. Функции
( , )
∗
u x ξ
и
4
4
( , )
∗
∗
= ω
C C ξ
будем считать
периодичными по
ξ
. Введем также обозначения для производных по
x
и
ξ
:
i
x
i
x
∂
∇ =
∂
e
;
i
i
ξ
∂
∇ =
∂ξ
e
, где
i
e
— векторы базиса. Имеет место
следующее правило дифференцирования периодических функций:
1
x
k
−
ξ
∇ = ∇ + ∇
. Обозначим
1 2 3
1
( , )
( , )
V
f
f
d d d
V
ξ
ξ
=
ξ ξ ξ
∫
x ξ
x ξ
— опе-
ратор осреднения по ЯП.
Тогда в соответствии с методом асимптотического осреднения
представим перемещения
( , )
∗
u x ξ
, напряжения
∗
σ
и деформации
∗
ε
,
являющиеся решением задачи (3), в виде асимптотического разложе-
ния по степеням малого параметра
k
:
(0)
(1)
2 (2)
( , )
( )
( , )
( , ) ... .
k
k
∗
∗
∗
∗
=
(
(
(
u x ξ u x u ξ x u ξ x
(10)
(0)
(1)
2
...,
k
k
∗ ∗
∗
= ( (
ε ε
ε
(0)
(1)
2
... ,
k
k
∗ ∗
∗
= ( (
σ σ σ
Подставляя разложения (10) в уравнения системы (1) и собирая в
каждом уравнении члены при одинаковых степенях малого парамет-
ра
k
, получаем из условия равенства нулю членов при наименьших
степенях параметра
k
следующую задачу вязкоупругости ЯП: