2 / 16
Ю.И. Димитриенко, И.Д. Димитриенко, С.В. Сборщиков
2
Инженерный журнал: наука и инновации
# 11·2016
вого метода, оказывается недостаточно высокой. В этих случаях
необходимо применять методы конечных элементов (МКЭ) микро-
механического анализа, разработанные для гетерогенных материалов
и композитов.
Цель настоящей работы — разработка методики расчета вязко-
упругих характеристик пенопластов, основанной на конечно-
элементном решении локальных задач [14] теории вязкоупругости
при циклическом нагружении [5, 13], которые возникают при исполь-
зовании метода асимптотического осреднения [14–16].
Задача линейной вязкоупругости при циклических колеба-
ниях.
Рассмотрим задачу механики линейно вязкоупругой среды [13]
при гармонических колебаниях и относительно невысоких частотах,
когда инерционными силами можно пренебречь:
(
)
1
2
4
*т
*
0;
( , ) ;
1
;
2
,
.
e
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗ ∗
Σ
Σ
∇⋅
=
= ω ⋅
= ∇⊗ ( ∇⊗
⋅ =
=
σ
σ C ξ ε
ε
u
u
σ n S u u
(1)
Здесь
∇
— набла-оператор [17];
∗
σ
,
∗
ε
— комплексные амплитуды
тензоров напряжений и деформаций;
∗
u
— комплексная амплитуда
вектора перемещений;
∗
S
— вектор амплитуд внешних усилий на ча-
сти границы
1
Σ
;
*
e
u
— вектор амплитуд заданных перемещений на
части границы
2
Σ
;
n
— вектор внешней нормали;
4 *
( , )
ω
C ξ
— тензор
4-го ранга — тензор комплексных модулей упругости, зависящий от
приведенной частоты колебаний
( )
a
θ
ω = ω θ
;
( ( ))
a
θ
θ τ
— функция
температурного сдвига;
1 2
,
a a
— константы;
θ
— температура;
0
∆θ = θ − θ
;
0
θ
— начальное значение температуры,
4
4
4
( )
( ),
∗
∗
ω = − ω
C С K
4
4
0
( )
( )
,
i
e d
(∞
∗
− ωτ
ω =
τ
τ
∫
K
K
(2)
где
4
С
— тензор модулей упругости;
4
( )
τ
K
— тензор ядер релакса-
ции.
Для изотропных вязкоупругих материалов тензор модулей упру-
гости имеет две независимые константы:
K
— модуль объемного
сжатия и
G
— модуль сдвига, тензор ядер релаксации имеет две неза-
висимые функции:
( ),
( )
G K
K t K t
— ядра объемной и сдвиговой ре-