5 / 12
Устойчивость стационарных колебаний цилиндрического резонатора гироскопа…
Инженерный журнал: наука и инновации
# 5 2016
5
2
0
1
2
0
2
*
*
* *
*
*
*
* *
*
1
2
0;
2
2
0
2 ( )
cos 2
2 ( )
sin 2 ,
n
j
j
j
n
j
j
j
L
f
I
md
L
g
I
m
f
f
g
g
d
g
f
(5)
где
/(1 / )
j
j
j
I i
w d
— функция, зависящая от тока
j
i
и перемеще-
ния резонатора в направлении
j
-го электромагнита;
*
/ ;
m
*
/ .
c m
Предполагаем, что собственные частоты резонатора по вто-
рой основной собственной форме колебаний совмещены и поэтому
балансировки резонатора не требуется.
Напряжение
j
U
подается на обмотку
j
-й катушки с сопротивле-
нием
обм,
j
R
и добавочное сопротивление
доб,
,
j
R
соединенное после-
довательно с катушкой. Для определения токов, протекающих через
катушки, составим уравнения электрических цепей:
,
j
j j
j
d
R i U
dt
1, ..., ,
j
n
(6)
где
;
j
j j
L i
обм,
доб,
.
j
j
j
R R R
Уравнения (6) запишем в виде
0
(1 / )
,
j
j
j
j
j
L I R w d I U
1, ..., .
j
n
(7)
Системы дифференциальных уравнений (5) и (7) описывают ди-
намику гироскопа с учетом электрических процессов, обусловленных
наличием электромагнитов.
Вводя безразмерное время
t
и относительные перемещения
/
cos 2
sin 2 ,
j
j
j
j
w w d f
g
где
1 *
4 ( ) /
f
f
d
и
g
1 *
4 ( ) /
g d
— безразмерные обобщенные координаты основной
формы колебаний, получаем из уравнений (7)
(1 )
/ .
j j
j
j
j
j
I
w I U R
(8)
Здесь
0
/
j
j
L R
— малый параметр. В уравнении (8) и далее точ-
кой обозначено дифференцирование по безразмерному времени
.
Уравнения (8) являются сингулярно возмущенными дифферен-
циальными уравненями с малым параметром
j
(~10
–2
, подбирают с
помощью добавочного сопротивления
доб,
).
j
R
Поэтому, обнуляя ма-
лый параметр в уравнениях (8), получаем нулевое приближение к
решению: