8 / 13
И.Ю. Владимиров, Н.Н. Корчагин, А.С. Савин
8
где
2 2
2
2
1
(1 )(
) sh (
) [(1 )
(1 ) ]sh (
)
( )
k
k
k H h
k
k H h
g k
1
1
1
2 ch ch
;
2 ch (
)
kH
e
kH kH
k k H h
2
2
1
2
ch (
) [(1 )
2 (1 ) ]
( )
kH
k k H h
k k
e
g k
1
2 2
1
(1 )(
)
2ch ch
;
kH
k
e
kH kH
2
2
2
3
1
1
( )
[
(1 ) ]th
th
(th
th
).
g k k k
kH kH k kH kH
2. Далее в той же постановке исследуем задачу об определении
гидродинамической нагрузки, испытываемой трубопроводом, кото-
рый моделируется
точечным диполем с моментом
,
m
расположен-
ным в верхнем слое двухслойного потока несжимаемой жидкости
.
Все обозначения сохраним такими же, как и в предыдущем случае.
Поместим диполь в точку
z ih
(0
),
h H
а комплексно-сопря-
женную скорость в
k
слое
k
( {1 2}),
k
как и ранее, представим в
виде
.
k
k
V U
Математическая формулировка исходной задачи
выглядит следующим образом: найти аналитические функции
1
( )
U z
и
2
( ),
U z
удовлетворяющие граничным условиям (9)–(12), при этом
1
( )
U z
должна быть регулярна в полосе
0 Im
z H
за исключением
полюса второго порядка в точке
:
z ih
1
2
0
1
( )
( )
2 (
)
ikz
ikz
m U
A k e B k e dk
z ih
а функция
2
( )
U z
— регулярна в полосе
1
Im 0:
H z
2
0
( )
( )
2
ikz
ikz
m U
C k e D k e dk
где функции
( ) ( ) ( )
A k B k C k
и ( )
D k
подлежат определению. Решая
данную задачу тем же способом, что и задачу, рассмотренную в п. 1,
получаем в итоге следующие выражения для ( )
A k
и ( ):
B k
1
2
2
2
1
1
(
(1 ) ) th
ch (
) sh (
)
( )
ch
[
(1 ) ] th th
(th th )
k k
kH k
k H h k k H h
A k
kH k
k
kH kH k kH kH
1
2
2
2
1
1
(
)
[(1 ) ch
sh ] th
ch
( )
ch
[
(1 ) ] th th
(th th )
kH
k k e
kh k kh kH k kh
B k
kH k k
kH kH k kH kH