6 / 13
И.Ю. Владимиров, Н.Н. Корчагин, А.С. Савин
6
Поскольку
2
2
2
( )
( )
( )
2 (
)
m
z V U z V
f z
z ih
и функция ( )
f z
регулярна в области, заполненной нижней жидко-
стью, то функция
2
2
( )
z
имеет в этой области единственную особую
точку:
.
z ih
Применяя теорему о вычетах, находим
2
2
2
2
( )
( )
( )
2 res
(
)
(
)
z ih
K
K
m f z
f z
z dz
dz
im
z ih
z ih
Вычет подынтегральной функции в точке
z ih
2
( )
res
( )
(
)
z ih
f z
f
ih
z ih
Следовательно,
*
2
( )
R m f
ih
(18)
Для вычисления производной
( )
f
ih
продифференцируем со-
отношение (17) и в полученное равенство подставим
z ih
. В ре-
зультате имеем
1
1
1
1
1
0
( ) lim
( )
( )
2
i
i
kh
kh
i
i
im
f
ih
kC k e dk
kD k e dk
С помощью интегральной теоремы Коши можно показать, что
0
( )
( )
( )
2
(
)
kh
kh
im
f
ih
k C k e D k e dk
1
res
( )
( )
.
2
(
)
j
s
kh
kh
k k
j
m k C k e D k e
Отсюда
2
*
2
0
( ( )
( )
)
2
kh
kh
i m R
k C k e D k e dk
2
2
1
res ( ( )
( )
) .
2
j
s
kh
kh
k k
j
m
k C k e D k e
(19)
Здесь интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, а вы-
четы берутся по всем
s
полюсам
j
k
функции ( ( )
( )
),
kh
kh
k C k e D k e