Анализ и идентификация одного класса систем с распределенными параметрами
5
ортогональному базису. Если для детерминированных систем это
выражение сразу позволяет определить выходной сигнал системы как
функцию
( , ),
z t x
восстанавливаемую по проекционной характеристи-
ке
,
z
C
то для систем со случайными параметрами определенную
проблему составляет обращение случайной матрицы
.
z
I A
Для решения указанной проблемы предлагается воспользоваться
приемом разложения обратного оператора
1
z
I A
в матричный
ряд, который может быть легко усреднен, что удобно для решения
задач статистического анализа [2]. Следует отметить, что при этом не
возникает необходимости явно учитывать статистическую связь
между выходным сигналом системы и ее случайными параметрами,
поскольку проекционные характеристики статистических мер выход-
ного сигнала могут быть найдены в конечном итоге только через
проекционные характеристики статистических мер входного воздей-
ствия, случайных коэффициентов и дополнительных условий. При
необходимости можно учесть статистическую связь между входным
воздействием, случайными коэффициентами и дополнительными
условиями.
Если коэффициенты уравнения (1) являются случайными функ-
циями, можно для упрощения процедуры усреднения представить их
в виде канонических разложений по двумерным базисам неслучай-
ных координатных функций. В результате матрицы
U
в уравнении
(4), соответствующие этим случайным коэффициентам, будут заме-
нены суммами произведений гауссовых случайных величин коэффи-
циентов канонических разложений и детерминированных матриц
U
операторов умножения на координатные функции, а усреднение све-
дется к выражению моментов упомянутых случайных величин через
их единичные дисперсии. Если коэффициенты уравнения (1) являют-
ся случайными величинами, то их моменты при усреднении будут
выражаться через заданные дисперсии.
Представляя матрицу
z
A
в виде суммы детерминированной мат-
рицы
z
A
и случайной матрицы
,
z
A
что соответствует представле-
нию случайных коэффициентов исходного уравнения в виде суммы
детерминированной и случайной составляющих, запишем выражение
1
0
0
0
1
i
i
z
z
z
i
I A A A
A A
,
(8)
где
1
0
z
A I A
— детерминированная обратная матрица. (Во-
прос сходимости ряда (8) рассмотрен в работе [2].)
