Анализ и идентификация одного класса систем с распределенными параметрами
3
нения в частных производных к равносильному матрично-опера-
торному уравнению. Важным моментом является то, что в результате
удается найти выражение для решения данного матрично-опера-
торного уравнения, определяющее явную линейную зависимость меж-
ду проекционными характеристиками выходного и входного сигналов
системы. Это позволяет распространить многие проекционные методы
решения задач теории управления, разработанные для систем с сосре-
доточенными параметрами, на системы с распределенными парамет-
рами.
Возможны различные схемы проекционной аппроксимации урав-
нения (1) в зависимости от типа этого уравнения и вида краевых
условий. В некоторых случаях удается использовать схему, основан-
ную на применении матричных операторов интегрирования и умно-
жения [2]. Универсальной является схема, основанная на применении
матричных операторов дифференцирования и умножения [2]. Ниже
рассмотрена схема проекционной аппроксимации, которая, в отличие
от первой из упомянутых, не требует предварительного интегрирова-
ния уравнения (1) и характеризуется такой же алгоритмической про-
зрачностью перехода к матрично-операторному уравнению, как и
вторая, особенно при нулевых краевых условиях, но в отличие от по-
следней является вычислительно устойчивой и не требует примене-
ния метода наименьших квадратов.
Раскладывая функции в уравнении (1) по двумерному ортого-
нальному базису:
T
T
1
1
,
p
p
p
p
t
x
t
t
x
x
Φ Φ
и заменяя каждый оператор в пространстве функций на соответству-
ющий матричный оператор, сведем уравнение (1) к равносильному
матрично-операторному уравнению
,
t x z
a t z
b x z
c z
y
D D C U D C U D C U C C
(3)
где
,
t
x
D D
— матричные операторы дифференцирования по пере-
менным
t
и ;
x
,
z
y
C C
— проекционные характеристики выходного
сигнала и входного воздействия;
U
— матричный оператор умноже-
ния на функцию, указанную в индексе. Матрицы
z
C
и
y
C
представ-
ляют собой вектор-столбцы из последовательности строк квадратных
матриц коэффициентов разложения соответствующих функций по
двумерному ортогональному базису. Размер этих вектор-столбцов
обозначим как
,
pp
где
p
— число базисных функций. Двойной раз-
мер
pp
означает, что квадратные матрицы размером
p p
растянуты
в столбцы длиной
,
pp
образованные из последовательности строк ука-
занных квадратных матриц:
