З.Г. Широкова, Аунг Чжо Со, А.М. Макаренков
4
T
11 12
1
1 2
,
,
,
,
,
,
,
,
.
p p
pp
p
p p
pp
c c
c
c c
c
C C
Матричные операторы
t
D
и
x
D
действуют на столбцах размером
pp
и имеют размер
pp pp
. Необходимость растягивания матриц в
столбцы обусловлена спецификой построения матричного оператора
умножения
U
, который также имеет размер
.
pp pp
Умножая левую и правую части уравнения (3) на матричные опе-
раторы интегрирования
x
P
и
t
P
по переменным
x
и
,
t
имеем
0
x t a t
x t b x
x t c z
x t y
I P P U D P P U D P P U C P P C C
.
(4)
Такое умножение равносильно интегрированию в пространстве
функций, поэтому матрично-операторное уравнение (4) равносильно
интегральному уравнению второго рода, а добавленный справа век-
тор-столбец
0
C
, определяемый как
0
0
0
0
,
,
,
,
0
,
a t x
z t x
b t x
z t x
x
t
k
C I P U C I P U C C
(5)
учитывает дополнительные условия (2).
Обозначив в уравнении (4) сумму матриц в скобках, за исключе-
нием единичной матрицы
I
, как
,
z
A
перепишем его в виде
0
z
z
x t y
I A C P P C C
.
(6)
Уравнение (6) представляет собой результат проекционной ап-
проксимации исходной модели (1). Существует теорема [2] о един-
ственности решения уравнения (6) при достаточно больших
p
, из
которой также следует обратимость матрицы
z
I A
. Это позволяет
записать решение данного уравнения следующим образом:
1
1 0
0 0
,
z
z
x t y
z
y
C I A P P C I A C AC A C
(7)
где
z
A
— матрица, представляющая собой проекционную характе-
ристику системы с распределенными параметрами;
0
A
— матрица,
выражающая проекционную характеристику преобразования ее
начального состояния.
Учет фактора случайности параметров.
Выражение (7) опре-
деляет явную линейную зависимость между столбцами (растянутыми
в столбцы квадратными матрицами) коэффициентов разложения
входного воздействия и выходного сигнала системы по двумерному
