А.А. Гурченков, Л.А. Муравей, А.М. Романенков
8
0
0
1
( , )
lim
, ,
( )
, , ( )
1 lim
, ,
( )
, , ( )
;
t
h t x
t
t
t
t
dt
x
x
t
t
t
t
dt
x
x
0
0
0
0
0
0
0
1
( ,
)
( , )
( ) lim
,
( )
, ( )
1
( ,
)
( , )
lim
,
( )
, ( )
.
t
t x
t x
h t
F
t
F
t
dt
x
x
t x
t x
F
t
F
t
dt
x
x
Отметим, что для любого
t
справедливы оценки
0
0
,
( , )
;
.
t x
t x O
x t
x t
O
(17)
В самом деле,
0
0
( , ) ( , )
( )
( ) 0
t x
t x x t x t
при
.
t
Функции
,
t x
и
, ,
t x
а также
0
( )
x t
и
0
( )
x t
изменяются на интервале
,
согласно уравнениям (9)–(10), где
.
Тем не менее в
силу того, что интервал имеет длину
, мы получаем требуемые
оценки. На интервале
,
t
функции
( , ),
t x
,
t x
и
0
( ),
x t
0
( )
x t
также изменяются согласно тем же уравнениям, а значит, оцен-
ка (17) — следствие теорем о непрерывной зависимости решения
дифференциальных уравнений от начальных данных. Используя
теорему о конечных приращениях, непрерывность функций
0
,
, ,
x
x
F F
и тот факт, что при
,
t
получаем, что для
всех
t
0
( , )
, ,
, , ( )
lim
, , ( ) ( , ) ;
x
t
x
h t x
t
t
t
x
x
t
t h t x dt
x
0
0
0
2
0
0
1
2
,
,
,
,
,
,
,
.
x
t
x
x
h t
F
F
x
x
t x
F
t
x h t dt
x
x
