А.А. Гурченков, Л.А. Муравей, А.М. Романенков
10
Тогда согласно первому уравнению (18)
,
0
t x
и из равенства
(21) следует, что функция
M t
постоянна. Учитывая условия (22) и
вид функции
M t
, легко видеть, что
.
M T J
Пусть
t
— оптимальное управление. Из необходимого условия
минимума функционала, состоящего в неотрицательности его первой
вариации, получаем неравенство
0
0,
h T
а значит, необходимое
условие принимает вид
1
0
0
M T
T h T
. Поскольку величина
M t
постоянна, то последнее неравенство должно выполняться и при
,
t
т. е.
0
0
0,
h
что с учетом выражения (20) дает
0
0
0
, ( )
, ( )
,
,
0.
x
x
F
F
x
x
Это же неравенство можно записать в следующем виде:
1
0
1
0
, ( ) ,
, ( ) ,
.
x
x
F
x
F
x
Таким образом, для рассматриваемой задачи установили принцип
максимума Понтрягина. Если управление
t
и траектория
0
x t
до-
ставляют минимум функционалу (11) при уравнениях связи (9), (10),
условиях (7) и ограничении на управление (3), то существует такая не-
прерывная функция
0
,
t
удовлетворяющая системе сопряженных
уравнений (19) и условию (2), что при каждом
0,
t
T
функция
0
0
,
,
x
t F t x t
t
достигает в точке
t
своего максимума по всем
,
t
удовлетво-
ряющим ограничению (3).
Отметим, что из вида второго уравнения (19) следует, что функ-
ция
t
не меняет своего знака на всем интервале
0, ,
t
T
а со-
гласно условию (22) она на всем интервале отрицательна. Поэтому
для рассматриваемой задачи формулировка принципа максимума
значительно упрощается. Если управление
t
и траектория
0
x t
доставляют минимум функционалу (11) при уравнениях связи (9),
(10), условиях (7) и ограничениях на управление (3), то при каждом
0,
t
T
функция
0
,
,
x
F t x t
t
достигает в точке
t
сво-
его максимума по всем допустимым
.
Таким образом, для данной задачи отпадает необходимость ре-
шения сопряженного уравнения, что в значительной степени облег-
