Доверительное оценивание показателей надежности для модели системы…
7
Для вычисления максимума в (14) используем вспомогательную
задачу. Находим функцию
1
( , ) max ( , ) max ( )
k
i
i
i
i
ij
ij
j
g t z
L t
c t
(17)
по всем значениям вектора параметров
1 2
( ,
,...,
)
i
i
i
ik
i
-й подси-
стемы, удовлетворяющей ограничениям
1
;
k
ij ij ij
i
j
N T z
(18)
0, при всех 1, ..., ;
ij
j
k
(19)
1
2
...
.
i
i
ik
(20)
Решение задачи (17) – (20) фактически уже было найдено в [3]
(для случая одного элемента) на основе соответствующего численно-
го алгоритма, после чего решение исходной основной задачи (14),
(15) для функции надежности системы в целом задается следующей
теоремой.
Теорема 2.
Нижняя доверительная граница (16) для функции
надежности системы (10) имеет вид
1,...,
( , ) min
[ ,
( )] .
i
i
i
m
P t d
H g t
D
(21)
Доказательство.
Непосредственно из выражений (12), (13) сле-
дует, что первая производная
1
1
2
1
( 1)!
1
( )
1 ( 1)!
1
...
1
...
2!
( 1)!
i
i
i
n
i
i
i
i
n
i
i
i
i
n
i
i
i
z n
f z
n
n
z
z
z
z
n
(22)
монотонно возрастает по
i
z
. Тогда функции
( )
i
i
f z
выпуклы вниз по
i
z
при всех
1, 2, ...,
i
n
1, ...,
i
m
, т. е. для всех подсистем. Исходя из
этого, максимум (14) можем записать следующим образом:
1,...,
( , ) max [ , ( )] ,
i
i
i
m
f t d
f g t
D
откуда, согласно (12), (13) и (16), следует (21). Теорема доказана.
В соответствии с приведенной выше теоремой 1 функция надеж-
ности отдельно взятой
i
-й подсистемы имеет вид
( , )
[ ( , )].
i
i
i
i
i
P t
H L t
(23)
