П.А. Лёвин
4
из ее элементов). При
1
i
n
(т. е. для одного элемента) эту функ-
цию можем записать как
( , )
(1, , )
,
i
g u t
i
P u t
e
(5)
где
( , )
( )
t
i
i
u
g u t
z dz
— функция ресурса [6–8]. Функция (4) являет-
ся функцией надежности по времени
t u
одного элемента
i
-й под-
системы, «включающегося» в работу в момент
u
.
Соответствующая
плотность распределения на интервале
u t
имеет вид
( , )
( ) exp[ ( , )]
i
i
i
f u t
t
g u t
. Исходя из определения указанной функ-
ции, получаем следующее рекуррентное соотношение:
( , )
( 1, , )
(1, , )
( )
( , , ) ,
i
t
g u z
i
i
i
i
i
i
u
P n u t
P u t
z e
P n z t dz
(6)
где функция
(1, , )
i
P u t
определена формулой (5). Из (5), (6) находим
1
( , )
0
( , )
( , , )
,
!
i
i
l
n
i
i
g u t
i
i
l
g t
P n u t e
l
откуда при
0
u
следует (4). Теорема доказана.
В частном случае, если функция
( ) ,
i
t
теорема 1 дает извест-
ное распределение Эрланга порядка
i
n
[6, 8–11].
Покажем что функция
( , )
ln ( , ),
i
i
i
i
L t
P t
имеющая смысл
функции ресурса для
i
-й подсистемы, выпукла вниз по вектору
1
( , ...,
)
i
i
i
in
. Для этого рассмотрим подсистему с ненагруженным
резервированием, работающую в постоянном режиме
( )
i
t
.
Функция надежности вероятности безотказной работы
i
-й подсисте-
мы, работающей в постоянном режиме, согласно (4), имеет вид
1
1
0
( )
( )
( , )
1
...
.
!
( 1)!
i
i
n
n
l
t
t
i
l
i
t
t
R t
e
e
t
l
n
(7)
Функция плотности вероятности безотказной работы представля-
ет собой известное распределение Эрланга порядка
n
:
1
( )
.
( 1)!
i
i
n
n
t
i
f t
t e
n
