11
Численное решение сопряженной задачи гиперзвуковой аэродинамики
Тепловой поток
, 1
s n
q
+
на твердой стенке на очередном (
n
+ 1) вре-
менном шаге рассчитывается с помощью специального метода, предло-
женного в [18], согласно которому сначала ищется численно-аналити-
ческое решение уравнения теплопроводности (13) только для главных
членов теплового потока
∇
θ
s
·
n
в направлении по нормали к нагревае-
мой поверхности (тепловыми потоками в касательной плоскости
∇
θ · τ
I
на этом шаге пренебрегается) и только с третьим граничным услови-
ем (5) (с заданной температурой поверхности). Тогда после обезразме-
ривания уравнение теплопроводности (15) с граничными и начальным
условиями (20)–(21) принимает вид
2
2
Fo , 0 1;
x
t
x
∂θ ∂ θ
=
< <
∂
∂
(36)
0 :
;
1:
0;
0 :
1,
w
x
x
t
x
∂θ
= θ = θ = = = θ =
∂
где
0
Fo
s
s s
t
c H
λ
=
ρ
— параметр Фурье;
H
— толщина оболочки;
0
θ
θ =
θ
—
безразмерная температура,
0
/ ;
w w
θ = θ θ
x x
H
=
—безразмерная коорди-
ната по толщине оболочки. В силу линейности задачи (36) ее решение—
безразмерная температура ( , )
x t
θ
и тепловой поток
( )
,
q
x t
x
∂θ
=
∂
—
являются линейными функциями от входных данных задачи: от тем-
пературы внешней поверхности
,
w
θ
тогда значение теплового пото-
ка
(0,1)
s
q
x
∂θ
=
∂
на нагреваемой поверхности в момент времени
t
= 1
можно представить в виде:
( )
(
)
Fo
1 ,
s
w
q g
=
θ −
где
g
(Fo) — некоторая
функция от параметра Фурье, которую находим из формулы
(
)
(0,1)
(Fo)
.
1
w
x
g
∂θ
∂=
θ −
(37)
Возвращаясь к размерным величинам, получим для теплового по-
тока формулу Ньютона:
(
)
0
(Fo)
;
,
s
s
w
g
q
H
λ
= α θ − θ α =
(38)
где α — коэффициент теплообмена для твердой стенки, определяем
численно. Подставляя далее выражение (38) в граничное условие (5),
замыкаем итерационный цикл по «быстрому» времени.
