Н.Е. Зубов, Е.Ю. Зыбин, М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко
8
Итак, формула (23) играет при синтезе регулятора ДС такую же
роль, какую играют формулы Аккерманна и Басса — Гура при синте-
зе регулятора для линейных систем стандартного вида (5).
Ленточная матрица наблюдаемости ДС и явная формула
синтеза наблюдателя состояния.
В силу дуальности задач анализа
полной управляемости и наблюдаемости линейной ДС (1), справед-
лива теорема, дуальная теореме 1.
Теорема 5.
[6].
Для полной наблюдаемости ДС
(1)
необходимо и
достаточно, чтобы
2
T T
T T
R
n
n
R
R
⊥
⊥
⊥
⎛
⎞
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⊗
∈
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
c
c
I
A
E
,
(25)
где
R
⊥
c
— ортогональный правый делитель нуля вектора
c
T
.
Матрица
2 2
T T
(
1)
T T
R
n n
n
R
⊥
× +
⊥
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⊗
∈
⎜
⎟
⎝
⎠
c
c
I
A
E
называется
ленточной матрицей наблюдаемости
.
Пусть требуется синтезировать наблюдатель состояния ДС (1):
(
)
T
y u
= + − +
x x c x
b
A l
.
(26)
Другими словами, необходимо с помощью закона инъекции вы-
хода (8) обеспечить х.п.:
(
)
T
1
1
1
0
det
,
k
k
k
k
k n
−
−
λ − + = β λ + β λ + + β λ + β ≤
c
E A l
. (27)
Повторяя рассуждения, аналогичные приведенным в предыду-
щем разделе, придем к справедливости теоремы.
Теорема 6.
Пусть линейная ДС
(1)
полностью наблюдаемая и
имеет х.п.
(11).
Тогда матрица
l
в наблюдателе состояния
(26)
,
обеспечивающая замкнутой системе х.п.
(27)
, определяется эквива-
лентными формулами
(
)
0 0
1 1
T
1
2
1
1
1
k
k
k
k
k
k
−
−
−
−
γ −β ⎛
⎞
⎜
⎟
γ −β ⎜
⎟
⎜
⎟
= Ζ Ζ
Ζ Ζ
⎜
⎟
γ −β ⎜
⎟
⎜
⎟
γ −β ⎝
⎠
l
,
