Явные формулы синтеза регулятора и наблюдателя для дескрипторной системы - page 7

Явные формулы синтеза регулятора и наблюдателя для дескрипторной системы
7
( ) ( ) T
1 2 1 0 1 1 k k k k
− − = Δγ Δγ Δγ Δγ k ϒ ϒ ϒ ϒ , (20)
T
1 0
T
2 1
T
1
1
T
k
k
k
k
−
−
⎛ ⎞ Δγ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δγ
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ Δγ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δγ
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
k
ϒ
ϒ
ϒ
ϒ
, (21)
где
, 0,
i i i i k Δγ = γ − γ = .
При условии обратимости матрицы
( )
T
T
1
T
2
1 2 1 2
T
1
T
k k
k
k
− −
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
ϒ
ϒ
ϒ ϒ ϒ ϒ
ϒ
ϒ
(22)
из (20) получаем окончательные формулы регулятора ДС (1), обеспе-
чивающего заданное расположение полюсов в форме коэффициентов
х.п. (17), а именно,
( ) ( ) 1
T
0 1 1 1 2 1 k k k k
−
− − = Δγ Δγ Δγ Δγ k ϒ ϒ ϒ ϒ (23)
1
T
1 0
T
2 1
T
1
1
T
k
k
k
k
−
−
−
⎛ ⎞ Δγ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δγ
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ Δγ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δγ
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
k
ϒ
ϒ
ϒ
ϒ
. (24)
По аналогии с [10] можно показать, что для полностью управляе-
мой ДС (1) матрица (22) всегда обратима.
Таким образом, нами доказана теорема.
Теорема 4. Пусть линейная ДС (1) полностью управляемая и
имеет х.п. (11). Тогда матрица kT в законе обратной связи (7), обес-
печивающая замкнутой системе х.п. (17), определяется эквивалент-
ными формулами (23), (24).