Явные формулы синтеза регулятора и наблюдателя для дескрипторной системы
3
объектом исследований являются ленточные матрицы управляемости
и наблюдаемости ДС.
Ленточная матрица управляемости ДС и ее основные свой-
ства.
Введем определение.
Определение 1. [4].
Матрицу
2 2
(
1)
L
L
L
L
L
L
n n
n
L
L
L
L
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
× +
⊥
⊥
⊥
⊥
⎛
⎞
−
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎛
⎞ −
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⊗ =
∈
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠ ⎜
⎟
⎜
⎟ −
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
b
0
0
0
b
b
0
0
b
0 b
b
0
b
0
0 b
b
0
0
0
b
I
A
E A
A
E A
E
E
A
E
(9)
будем называть ленточной матрицей управляемости ДС
(1).
Здесь и далее
0
— нулевая матрица подходящего размера,
⊗
—
символ операции кронекерова произведения, символом
( )
L
⊥
⋅
обозна-
чен левый делитель нуля максимального ранга заданной матрицы
(вектора), а символом
( )
R
⊥
⋅
— правый делитель нуля максимального
ранга заданной матрицы (вектора).
В соответствии с [5] левым делителем нуля максимального ранга
некоторой матрицы
n m
×
∈
M
ранга
r
называется матрица
L
⊥
M
, если
одновременно выполняются условия
(
)
, rank
L
n r m
L
n r
⊥
⊥
− ×
=
= −
0
M M
M
.
Правым делителем нуля максимального ранга матрицы
n m
×
∈
M
ранга
r
называется матрица
R
⊥
M
, если одновременно выполняются
следующие условия:
(
)
, rank
R n m r
R
m r
⊥
⊥
× −
=
= −
0
MM
M
.
Без ограничения общности в дальнейшем будем полагать, что
матрицы
L
⊥
M
и
R
⊥
M
удовлетворяют условиям ортогональности, т. е.
T
T
,
L L
n r
R R n m
⊥ ⊥
⊥ ⊥
−
−
=
=
M M I
M M I
.
Здесь
I
n
–
r
,
I
n
–
m
— единичные матрицы размеров
n
–
r
и
n
–
m
, соответ-
ственно.
Справедлива теорема.
