Явные формулы синтеза регулятора и наблюдателя для дескрипторной системы - page 4

Н.Е. Зубов, Е.Ю. Зыбин, М.Ш. Мисриханов, В.Н. Рябченко
4
Теорема 1. [6]. Для полной управляемости ДС (1) необходимо и
достаточно, чтобы
2
1
2
1
,
L n n
n i
L
R n
n
⊥
⊥
⊥
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⊗ = ∈ ∈
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
b
b
ϒ
ϒ
ϒ
ϒ
ϒ
I
A
E
. (10)
Пусть далее
( ) 1
1 1 0 det , k k
k k k n −
− λ − = γ λ + γ λ + + γ λ + γ ≤ E A (11)
— характеристический полином (далее х.п.) ДС (1). Известно [1], что
корни полинома (11) определяют полюсы передаточной функции ДС
(2) и, следовательно, устойчивость этой системы.
Справедливо утверждение.
Теорема 2. [6]. Коэффициенты х.п. (1) полностью управляемой
ДС (1) определяются ленточной формулой
0 1
1 2
1 1
k
k k
k k
+
+
− −
γ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⊗ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ γ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ γ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b
b
ϒ
ϒ
ϒ
ϒ
I
A
E
, (12)
где i ϒ — субвекторы из (10),
( ) 1
T T −
+
= b b b b .
Известно также, что корни полинома числителя передаточной
функции ДС (2)
1
1 1 0
l l
l l
−
− θ λ + θ λ + + θ λ + θ (13)
определяют нули передачи ДС (1), т. е. комплексные частоты вход-
ных воздействий, при которых обнуляется ее выход.
Теорема 3. [6]. Коэффициенты полинома числителя (13) пере-
даточной функции (2) полностью управляемой ДС (1) определяются
ленточной формулой