Одновременная стабилизация SIMO-систем - page 9

Одновременная стабилизация SIMO-систем
9
Анализ матрицы (38) показывает, что она вырождена (см. (31),
(35)) и имеет следующее множество собственных чисел:
eig {0,...., 0, 2,...., 2}
n n
= M , (39)
т. е. имеет n нулей и n двоек
*
.
Для рассматривавшегося ранее случая одновременной стабилиза-
ции маятников линейное матричное неравенство (32) заменяется сле-
дующим:
1
(1)T (2)T
(1) (1)
1 1
1 0
(1)T (2)T
(1) (1)
2 2
2 1
(2) (2) 1
(2)T (1)T 1 0
1 1 (2) (2)
(2)T (1)T 2 1
2 2
1 0
0 1
0
1 0
0 1
−
−
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ψ α ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ψ α ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ + >
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ψ α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ψ α ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
ϒ ϒ
ϒ ϒ
ϒ ϒ
ϒ ϒ
. (40)
Здесь неизвестным считается 4-мерный вектор
( )T
(1)T (2)T 4
ψ = ψ ψ ∈ .
Распространение полученных соотношений по индукции на слу-
чай количества SIMO-систем 2, 3,..., i m
= дает утверждение.
Теорема 1. Для одновременной стабилизации линейных SIMO-
систем
1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) t t u t = + x A x b ,…,
( ) ( ) ( )
m m m m m t t u t = + x A x b ,
регулятором n
∈ k в законах управления
T
1 1 ( ) ( ) u t t
= −k x ,…,
T
( ) ( )
m m
u t t
= −k x ,
необходимо существование решения mn
ψ∈ линейного матричного
неравенства
(1) (1)
( ) ( )
0
m m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ψ α
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ >
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
ψ α
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
M , (41)
* Положительных чисел!