Одновременная стабилизация SIMO-систем - page 7

Одновременная стабилизация SIMO-систем
7
1 1 2
2 2 1
T T T (1)
T T T (2) 0,5 0
A n A A
A A A n
−
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎛ ⎞α
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ϕ + > ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− α ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
T T T
T T T
I
I
. (31)
Доказательство леммы 1. Действительно, решение задачи одно-
временной стабилизации означает, что характеристические полиномы
( ) ( ) T
( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )
1 1 0
det
i
i i n i n i i
n i i A n
− −
− λ − + β − α = λ + β λ + + β λ + β b T I A
( 1, 2 i = ) с векторами коэффициентов (29) — гурвицевы.
Хорошо известно, что необходимым условием гурвицевости лю-
бого полинома является положительность его коэффициентов. Таким
образом, необходимое условие гурвицевости характеристических по-
линомов с векторами коэффициентов (29) имеет вид
( )
0
( )
1
( )
( )
2
( )
1
0, 1, 2
i
i
i
i
n
i
n
i
−
−
⎛ ⎞ β
⎜ ⎟
β⎜ ⎟
⎜ ⎟
β = > =
⎜ ⎟
β⎜ ⎟
⎜ ⎟ β⎝
⎠
,
откуда, согласно формуле (26), следует линейное матричное неравен-
ство (31).
Для SIMO-систем второго порядка (например, математических
маятников) необходимое условие, приведенное в теореме 1, является и
достаточным. При этом линейное матричное неравенство (31), условие
выбора параметров и искомый регулятор имеют, соответственно, вид
1
(1)T (2)T
(1)T (1)
1 1
1 0
(1)T (2)T
(1)T (1)
2 2
1 2 1
(2)T (2) 1
(2)T (1)T
2 1 0
1 1
(2)T (2)
(2)T (1)T
2 1
2 2
1 0
0 1
0,5
1 0
0 1
−
−
⎛ ⎞
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞ α ⎜ ⎟
−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
ϕ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ α ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
+ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ϕ ⎜ ⎟ α
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ α ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎝ ⎠
ϒ ϒ
ϒ
ϒ ϒ
ϒ
ϒ ϒ ϒ
ϒ ϒ ϒ
0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ > ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,(32)
1
(1) (1)T (1) (1)T (2)T (2)
1 0 1 0 1 1 0
(1) (1)T (1) (1)T (2)T (2)
2 1 2 1 2 2 1
0,5
− ⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ϕ⎛ ⎞ β α α
⎢ ⎥
≥ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ϕ β α α ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
ϒ ϒ ϒ
ϒ ϒ ϒ
, (33)
1
(1)T (1) (1)
1 1 0 0
(1)T (1) (1)
2 2 1 1
k
k
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ β − α
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ β − α
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ϒ
ϒ
. (34)