Применение метода множителей для решения задачи…
5
уд0
0
0
1
.
I
t
g
(20)
Значение коэффициента
a
в формуле (18) при расчетах принима-
ют равным 0,30…0,40 с
–1
. Это обеспечивает программный разворот
ракеты на первой ступени продолжительностью 20…30 с, а также
пренебрежимо малые углы атаки при достижении ракетой скорости
порядка 0,250 км/с.
Остановимся на методах решения задачи условной оптимизации.
Для задачи с ограничениями типа равенств (2) математическая фор-
мулировка имеет вид [6–11]:
*
*
*
:
min ;
,
f
X X
h X 0
где
X
*
— вектор неизвестных;
f
(
X
*
) — целевая функция, определяе-
мая формулой (1);
h
(
X
*
) — вектор ограничений (см. равенства (2)).
Для решения подобных задач достаточно часто используют метод
множителей Лагранжа, а также метод штрафных функций, или
штрафа. Первый состоит в том, что решают задачу безусловной оп-
тимизации для функции Лагранжа:
Т
1
,
,
F
f
X λ
X λ h X
(21)
где
— вектор множителей Лагранжа, т. е. определяют вектор мето-
дами непрямого поиска [12, 13], например методом Ньютона:
T
*T *T
:
X λ
* *
1
,
.
F
X λ 0
(22)
Один из недостатков этого подхода состоит в необходимости вы-
числения матрицы Гессе, содержащей вторые производные от функ-
ции
F
1
(см. формулу (21)), которые, впрочем как и первые, могут
быть определены только численно (см. выражения (10)–(13)). Другое
неудобство использования этого метода связано с тем, что для обес-
печения устойчивости вычислений по схеме Ньютона и достаточно
быстрой сходимости метода необходимо задать хорошее начальное
приближение к вектору
T
*T *T
X λ
, что практически невозможно
из-за неизвестного заранее значения вектора
.
Применение метода штрафных функций [6–11, 13], в частности
простого квадратичного штрафа, состоит в том, что строят последо-
вательность параметров штрафа
,
k
c
k
c
и для каждой итера-
ции (фиксированного значения
c
N
) решают задачу безусловной ми-
нимизации вида
