А.В. Плюснин
,
И.А. Доденко
8
(единичный вектор
n
нормали к рассматриваемой поверхности, ори-
ентирован внутрь жидкости). На торцах цилиндра
x L
ограничим-
ся постановкой однородного условия непротекания
0.
n
(14)
Задача (12)–(14) решается для дискретного набора моментов вре-
мени.
В качестве метода численного решения задачи (12)–(14) удобно
воспользоваться МГЭ [2, 6]. Переформулируем задачу (12)–(14) в ви-
де основной интегральной формулы Грина [14]:
1
1
2
,
MP
MP
S S
S S
M
P
dS
P dS
n r
r
n
(15)
где
S
и
S
– части поверхности цилиндра, находящиеся в полу-
пространствах
0
x
и
0
x
соответственно,
M S S
. Как и в
случае расчета потенциалов поступательного и вращательного попе-
речных движений тела вращения, искомый потенциал жидкости
можно представить в виде
, , ,
, , cos
x r t
x r t
.
Вследствие симметрии задачи относительно плоскости
0
x
и
осевой симметрии искомой функции
, , ,
x r t
для точки
M
доста-
точно положить
0
M
x x
,
M
r r
,
0
M
. Поверхностное инте-
грирование в формуле (15) представим в виде интегрирования по
длине дуги
s
вдоль меридионального сечения поверхности
S
и по
окружной координате
. Интегралы по окружной координате пред-
ставляются через эллиптические интегралы и могут быть эффективно
вычислены с помощью аппроксимирующих зависимостей [15]. При
интегрировании по дуге вся дуга разбивается на достаточное количе-
ство криволинейных граничных элементов (ГЭ). Искомые значения
P
и известные граничные значения
w P
P
n
t
аппроксими-
руются их значениями в центрах ГЭ. Интегрирование оставшихся вы-
ражений можно выполнить, например, по квадратурным формулам
Гаусса. Окрестности особых точек (когда точка интегрирования
P
может совпасть с точкой
M
) можно не рассматривать, если их взять
достаточно малыми, поскольку, как показано в [14],
( )
1
MP S
P dS
r
n
