Методические аспекты вычисления поверхностных интегралов
9
2 2
2 2
2
sin cos ,
sin sin ,
sin cos
a
a
a
и
2
,
sin .
a
n
Тогда, учитывая, что
2
2
,
,
x
y
2 2
sin ,
a
получим
2
2
2
2 2 2
4
3
4
0
0
0
8
sin sin
2 sin
.
3
S
x y dS d a
a
d
a
d
a
Пример 4.
Вычислить поток векторного поля
2
, ,
x y z y z
F
j k
через внешнюю сторону боковой поверхности параболоида
2
2
,
0, 2
z x y z
.
Первый способ.
Поверхность задана явно уравнением
2
2
.
z x y
Учитывая, что проекцией поверхности на плоскость
XOY
является
круг с центром в точке
O
и радиусом
2,
R
зададим поверхность
следующими параметрическими уравнениями (с параметрами ,
x y
):
,
x x
,
y y
2
2
,
z x y
,
,
xy
x y D
где
xy
D
— круг с
центром в точке
O
и радиусом
2.
R
При этом
2
2
,
grad
2 , 2 , 1 .
x y
z x y
x y
n
Поскольку поверх-
ность ориентирована внешней нормалью, то
,
2 , 2 , 1
x y
x y
n
и
скалярное произведение имеет вид
3
3
2
2
, ,
,
,
2
,
2
.
x y z x y x y
y z x y y x y
F
n
Тогда
3
2
2
2
.
xy
S
D
d
y x y dx dy
F S
Для вычисления двойного
интеграла перейдем к полярным координатам
, .
Учитывая, что
2
3
0
sin
0,
d
получим искомый поток:
2
2
2
3 3
2
3
0
0
0
2 sin
2
2 .
S
d d
d
d
F S
Второй способ.
С учетом того, что сечением параболоида
2
2
z x y
плоскостью
,
z C
0, 2 ,
C
является окружность радиу-
сом
,
R z
зададим поверхность следующими параметрическими
уравнениями (с параметрами , ):
z
,
cos ,
x z
z
,
y z
sin ,
z
;
z z
0, 2 ,
z
0, 2 .
При этом
