Методические аспекты вычисления поверхностных интегралов
5
Главной нормалью
к поверхности
S
называется вектор
,
,
u v
r r
взятый со знаком «плюс» или «минус»:
,
,
u v
u
u
u
v
v
v
u v
x y z
x y z
i
j k
n
r r
.
(12)
1. Поверхностный интеграл первого рода от непрерывной во всех
точках поверхности
S
функции
, ,
f x y z
будем вычислять по фор-
муле [4]
, ,
, ,
, ,
,
,
,
S
D
f x y z dS f x u v y u v z u v
u v du dv
n
(13)
где
,
u v
n
— главная нормаль к поверхности
.
S
Замечание 1. Если поверхность задана явно, например уравне-
нием
, ,
z z x y
,
,
xy
x y D
то будем считать, что поверхность за-
дана следующими параметрическими уравнениями (с параметрами
,
x y
):
,
x x
,
y y
, ,
z z x y
,
.
xy
x y D
При этом главная нор-
маль имеет вид
,
1 0
,
, 1
0 1
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
x y
x y z
z
z z
x y z
z
i
j k i j k
n
и
2
2
,
1
.
x
y
x y
z z
n
Для вычисления поверхностного интеграла
первого рода воспользуемся формулой (13), которая принимает вид (3).
Замечание 2. Если поверхность задана уравнением
,
z z x y
,
то главная нормаль к поверхности совпадает с градиентом функции
, :
z z x y
,
,
, 1 grad
,
,
x
y
x y
z z
z z x y
n
если урав-
нением
, ,
x x y z
то
,
grad
,
,
y z
x x y z
n
а если уравнени-
ем
, ,
y y x z
то
,
grad
,
.
x z
y y x z
n
2. Поверхностный интеграл второго рода от непрерывного во всех
точках поверхности векторного поля
, ,
, ,
x y z P x y z
F
i
, ,
, ,
Q x y z R x y z
j
k
по ориентированной поверхности
S
(поток
векторного поля
F
через поверхность )
S
будем вычислять по фор-
муле
