Методические аспекты вычисления поверхностных интегралов - page 3

Методические аспекты вычисления поверхностных интегралов
3
Формулы (5)(8) упрощаются, если поверхность S можно одно-
значно спроектировать на одну из координатных плоскостей. Пусть
поверхность задана уравнением  , , z z x y  , ,
xy x y D где xy D —
проекция S на плоскость . XOY Тогда формула (5) принимает вид
             
, , , , , , , , , .
xy
S
x y
D
d
P x y z x y z Q x y z x y z R x y z x y dxdy

      


F S
(9)
Формулы (5)(8) также упрощаются, если поверхностный инте-
грал второго рода вычислять методом проектирования поверхности
на все три координатных плоскости. Предположим, что ориентиро-
ванную поверхность S можно однозначно спроектировать на все три
координатных плоскости. Тогда поверхность задается любым из сле-
дующих уравнений:  , , x x y z  , ;
yz y z D  , , y y x z  , ;
xz x z D
 , , z z x y  , ,
xy x y D где ,
yz D ,
xz D xy D — проекции S на плоско-
сти , YOZ XOZ и XOY соответственно. В этом случае вычисление
поверхностного интеграла второго рода может быть сведено к вы-
числению трех двойных интегралов:
     
     
sgn cos , , ,
sgn cos , , ,
yz
xz
S D
D
d P x y z y z dydz
Q x y x z z dxdz
  
  
 

F S
     
sgn cos , , , ,
xy D
R x y z x y dxdy    (10)
где , ,    — углы между нормалью к поверхности S и осью , OX
, OY OZ соответственно.
Вид формул (2), (5)(8) приводит студентов в ужас. Студенты,
как правило, даже не пытаются понять и тем более запомнить гро-
моздкие формулы (2), (5)(8), и поэтому они практически никогда не
используют эти формулы и не параметризуют поверхности. Удобная
для вычисления поверхностных интегралов первого рода формула (4)
не приведена ни в учебниках [1 3, 5, 6], ни в задачниках [79], и сту-
денты, как правило, не знают эту формулу. В задачниках [79] и даже
в учебных пособиях [1012] не приведена и удобная для вычисления
поверхностных интегралов второго рода формула (9). Студенты