Е.Б. Павельева
10
1
1
,
cos
sin 1
2
2
sin
cos
0
1
cos ,
sin ,
.
2
z
z
z
z
x y z
z
z
x y z
z
z
z
z
i
j
k
i
j k
n
Поскольку поверхность ориентирована внешней нормалью, то
1
,
cos ,
sin ,
2
z
z
z
n
и скалярное произведение имеет вид
3
2
3 2
, ,
, ,
,
1
1
,
sin
sin
.
2
2
x z
y z
z z
y z
z
z z
z
F
n
Тогда
2
2 3
3 2
0
0
1
sin
.
2
S
d
d z
z dz
F S
Учитывая,
что
2
3
0
sin
0,
d
получим
2
0
2 .
S
d
zdz
F S
Пример 5.
Вычислить поток векторного поля
, ,
x y z
F
2
2
x z y
i
j k
через внешнюю сторону части поверхности эллип-
соида
2
2
2
4
4 4,
x y z
расположенной в первом октанте.
Решение.
Зададим поверхность эллипсоида
2
2
2
2
1
2
y x
z
сле-
дующими параметрическими уравнениями (с параметрами
, ):
,
sin cos ,
x
,
2sin sin ,
y
,
cos ;
z
0,
,
2
0,
.
2
При этом
,
cos cos 2cos sin sin
sin sin 2sin cos
0
x y z
x y z
i
j k
i
j
k
n
2
2
2sin cos , sin sin , 2sin cos .
Поскольку поверхность ориентирована внешней нормалью, то
при
0,
2
угол между главной нормалью и вектором
k
острый.
