Е.Б. Павельева
12
Вычислим последний интеграл, применив тригонометрическую под-
становку
sin .
y R t
Итак,
2
2
2
3
2
2
4
2
2
2
4
4
1
cos
.
3
3
2
R
R
H
HR
R y dy
t dt
HR
R
Замечание. Вычисление интеграла
3
2
2 2
R
R
R y dy
может вы-
звать затруднение у слабых студентов.
Второй способ.
Данный интеграл равен потоку
S
d
F S
векторно-
го поля
, ,
2
x y z x y
F
i
через ориентированную поверхность ,
S
которая задана явно уравнением
2
2
2
.
H z
x y
R
Учитывая, что при
z H
проекцией поверхности на плоскость
XOY
является круг с
центром в точке
O
и радиусом
R
, зададим поверхность следующими
параметрическими уравнениями (с параметрами ,
x y
):
,
x x
,
y y
2
2
2
,
,
H
z x y
x y
R
,
,
xy
x y D
где
xy
D
— круг с центром в точке
O
и радиусом
.
R
При этом
2
2
2
2
2
2
2
,
grad
,
, 1 .
H
H x H y
x y
z
x y
R
R R
n
Поскольку поверхность ориентирована внешней нормалью, то
2
2
2 2
,
,
, 1
H x H y
x y
R R
n
и скалярное произведение имеет вид
2
2
2
2
2
, ,
,
,
2
2
H x H
x y z x y x y
x y
x xy
R R
F
n
.
Тогда
2
2
2
2
.
xy
S
D
H d
x xy dx dy
R
F S
Для вычисления двойного ин-
теграла перейдем к полярным координатам
, .
Искомый интеграл
2
2
2
2
2
0
0
2
cos
2 cos sin
R
S
H d
d
d
R
F S
22
2
2
0
1
cos
sin 2
.
2
2
HR
d
HR
