Е.Б. Павельева
4
обычно используют формулу (3) для вычисления поверхностных ин-
тегралов первого рода и формулу (10) для вычисления поверхност-
ных интегралов второго рода. При этом большинство слабых студен-
тов путают форму записи поверхностного интеграла второго рода
, ,
, ,
, ,
S
S
d
P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
F S
(11)
с формулой (10) для вычисления поверхностного интеграла второго
рода. Они воспринимают поверхностный интеграл, записанный в
форме (11), как сумму трех двойных интегралов и поэтому не учиты-
вают знаки двойных интегралов.
В учебных пособиях и руководствах к решению задач [7, 10
13]
при вычислении поверхностных интегралов второго рода акцент де-
лается на формулу (10). В руководствах к решению задач [7, 10, 12]
авторы учат студентов искать поверхностные интегралы второго ро-
да
только
методом проектирования поверхности на все три коорди-
натных плоскости
,
т. е. учат брать
три двойных интеграла вместо
одного
во всех случаях, даже в простейшем случае, когда поверх-
ность является частью плоскости [10, 13]. В итоге вычисление даже
простейшего поверхностного интеграла второго рода превращается в
громоздкую задачу, и студенты, как правило, считают тему «Поверх-
ностные интегралы» одной из самых сложных в курсе «Кратные ин-
тегралы и ряды».
Если в задаче требуется вычислить поверхностный интеграл вто-
рого рода
, ,
,
S
P x y z dydz
, ,
S
Q x y z dzdx
или
, ,
,
S
R x y z dxdy
то
студенты всегда проектируют поверхность на плоскость
YOZ
,
XOZ
или
XOY
соответственно, которую «диктует» форма записи инте-
грала, а затем используют формулу (10) для вычисления интеграла.
Однако возможны такие задачи, в которых удобнее проектировать
поверхность на другую плоскость и затем использовать формулу ви-
да (9) или параметризовать поверхность (см. пример 6). Метод реше-
ния конкретной задачи определяется заданной поверхностью и
подынтегральной функцией, а не формой записи интеграла.
В настоящей работе для вычисления поверхностных интегралов
предлагается использовать формулу (4) и формулы (5)
(8), записан-
ные в простом и легко запоминающемся виде. При этом частные слу-
чаи этих формул непосредственно получаются в процессе решения
конкретных задач. Такой подход дает возможность быстро, легко и
красиво вычислять поверхностные интегралы.
Основной результат.
Пусть
S
— кусочно-гладкая двухсторон-
няя поверхность, заданная параметрическими уравнениями (1).
