Методические аспекты вычисления поверхностных интегралов - page 6

Е.Б. Павельева
6
           
, , , , , , ,
S D
d x u v y u v z u v u v du dv    F S F n (14)
где  , u v n — главная нормаль к поверхности S , соответствующая
заданной стороне поверхности.
Замечание 1. Если поверхность задана явно, например, уравне-
нием  , , z z x y  , ,
xy x y D то будем считать, что поверхность за-
дана параметрическими уравнениями (с параметрами , x y ): , x x
, y y  , , z z x y  , .
xy x y D При этом главная нормаль равна
   
, , ,1 ,
x y x y z z      n скалярное произведение
               
, , , , , , , , , .
x y P x y z x y z Q x y z x y z R x y z x y       Fn
Для вычисления поверхностного интеграла второго рода воспользу-
емся формулой (14), которая принимает вид (9).
Замечание 2. Интегралы вида cos ,
S
P dS  cos ,
S
Q dS 
cos
S
R dS  будем трактовать как поток
S
d  F S векторного поля F
через ориентированную поверхность ,S где    
, , , , , x y z P x y z F i
   
, , , , x y z Q x y z F j ,    
, , , , x y z R x y z F k соответственно.
В частности, если векторное поле имеет вид    
, , , , x y z R x y z  F k
   
0, 0, , , R x y z  и если поверхность S задана уравнением
 , , z z x y  , ,
xy x y D то главная нормаль    
, , ,1
x y x y z z      n ,
скалярное произведение      
, , , R x y z x y   Fn и интеграл
   
cos , , , .
xy S S D
d R dS R x y z x y dx dy        F S
При таком подходе достаточно понять и запомнить только три
формулы (12)(14), а все частные варианты этих формул непосред-
ственно получаются в процессе решения конкретных задач.
Рассмотрим примеры вычисления поверхностных интегралов
первого и второго рода с использованием формул (12)(14).
Пример 1. Вычислить интеграл 2 2 ,
S
x y dS  где S — боковая
поверхность конуса 2 2 , z x y   0, 1 . z 