Е.Б. Павельева
8
Решение.
Можно решить эту задачу, разбив поверхность
S
на две
поверхности
1
S
и
2
,
S
симметричные относительно плоскости
.
XOZ
При этом поверхность
1
S
задается уравнением
2
2
,
y
a x
а по-
верхность
2
S
— уравнением
2
2
.
y a x
Тогда интеграл по поверх-
ности
S
вычисляется как сумма интегралов по составляющим ее частям
1
S
и
2
S
[12]. Однако можно решить эту задачу другим способом.
С учетом того, что сечением поверхности плоскостью
,
z C
0,
,
C H
является окружность радиусом
,
R a
зададим поверх-
ность следующими параметрическими уравнениями (с параметрами
, ):
z
,
cos ,
x z
a
,
sin ,
y z
a
;
z z
0,
,
z
H
0, 2 .
При этом
,
0
0 1
sin cos 0
cos ,
sin , 0
z
z
z
z
x y z
x y z
a
a
a
a
i
j k
i
j
k
n
и
,
.
z
a
n
Тогда, учитывая, что
2
2
,
,
y z
z a x z
sin
sin ,
a
z a
получим искомый интеграл:
2
2
0
0 2
sin
sin
z H
S
y z a x dS
a
z a
a dz d
2
0
0
sin sin
4
.
H
a d a
a
z dz aH a H
Пример 3.
Вычислить
2
2
,
S
x y dS
где
S
— сфера
2
2
2
2
.
x y z a
Решение.
Зададим поверхность сферы следующими параметриче-
скими уравнениями (с параметрами
, ):
,
sin cos
x
a
,
,
sin sin ,
y
a
,
cos ;
z
a
0,
,
0, 2 .
При
этом
,
cos cos
cos sin
sin
sin sin sin cos
0
x y z
a
a
a
x y z
a
a
i
j k
i
j
k
n
