Методические аспекты вычисления поверхностных интегралов
11
Поэтому
2
2
,
2sin cos , sin sin , 2sin cos
n
и скалярное
произведение имеет вид
2
2
2
,
, 2sin cos
, sin sin 4sin cos
x
z
y
Fn
4
3
3
2
2sin cos cos
2sin sin 2sin 2 .
Тогда
2
2
4
3
3
2
0 0
4 4
2sin cos cos
2sin sin 2sin 2
.
3 15
S
d
d
d
F S
Пример 6.
Вычислить
2
,
S
x y dydz
где
S
— внешняя сторо-
на боковой поверхности параболоида
2
2
2
,
H z
x y
R
0,
.
z
H
Первый способ.
Большинство студентов и преподавателей будут
решать эту задачу методом проектирования поверхности на плос-
кость
.
YOZ
Проекцией поверхности на плоскость
YOZ
является об-
ласть
,
yz
D
ограниченная параболой
2
2
H z
y
R
и прямой
.
z H
Разо-
бьем поверхность
S
на две поверхности
1
S
и
2
,
S
симметричные от-
носительно плоскости
.
YOZ
При этом поверхность
1
S
задается урав-
нением
2
2
,
R x
z y
H
,
,
yz
y z D
а поверхность
2
S
— уравнением
2
2
,
R x
z y
H
,
.
yz
y z D
Учитывая, что
cos 0
на поверхности
1
S
и
cos 0
на поверхности
2
,
S
используя формулу (10), получим
1
2
2
2
2
S
S
S
x y dydz
x y dydz
x y dydz
2
2
2
2
2
2
yz
yz
D
D
R
R
z y y dydz
z y y dydz
H
H
2
2
2
2
3
2
2
2
2 2
2
4
2
2
.
3
yz
R
H
R
H
D
R
R
y
R
R
R
H
z y dydz
dy
z y dz
R y dy
H
H
R
