Решение внутренней задачи о возникновении естественной конвекции жидкости
3
горизонтально-цилиндрических или эллипсоидных полостей; для по-
следних уравнения (3) и (4) использовались в цилиндрических коор-
динатах с полярным углом Φ в плоскости, нормальной к оси
у
. При
постоянных
g
и
θ
правые части в (3) и слева в (4) принимались рав-
ными нулю. Результаты для полостей с плоскими границами пред-
ставлены в работе [4]. В данной же работе рассматривались области
решения внутри поверхностей
(
x
/
X – E
)
2
+ (
y
/
Y
– 1)
2
= 1;
x
∈
[0;
X
(1 +
E
)].
Здесь
Y
и
X
=
X
/2 — вертикальная и горизонтальная полуоси;
E
= 1
или
E
= 0 для цилиндров или эллипсоидов соответственно. При этом
использованы следующие условия:
x
∂ϕ
∂
=
0,
ϕ ∈
{
w
,
ϑ
} или
1
2
0
w w
n
n
γ−
−γ
∂ϑ
∂
⎛ ⎞
ϑ = = =
⎜ ⎟
∂
∂
⎝ ⎠
(5)
на осях вращения эллипсоидов (
x
= 0) или на всех внешних границах
полостей. В (5)
γ
— род условий для температуры (
γ ∈
{1; 2});
n
—
геометрическая нормаль к граничной поверхности (соответствующее
условие получено с использованием уравнения неразрывности).
Основная цель анализа — отыскание действительных значений
Ra
>
0 (cобственных чисел), обеспечивающих нетривиальное реше-
ние {
w
,
ϑ
} для системы (3)-(5). С их существованием и связывают
неустойчивость равновесия жидкости. Собственные функции {
w
,
ϑ
}
целесообразно искать в виде линейных суперпозиций
S
базисных
функций, удовлетворяющих граничным условиям. При удачном вы-
боре базиса хорошие результаты получаются уже при сравнительно
небольшом числе
S
, но в общем случае с конечным
S
применение ме-
тода приводит лишь к принципиально приближенному решению.
Здесь использованы разложения типа
4
0 1 1
2
0 1 1
(
)
,
, ( , ,
);
(
)
;
sin / sin ;
1/ (
);
cos ;
sin .
M L N
m
m
w
m l n
M L N
m
m
m l n
m
m
w
A C f
mln M L N
B D f
nx X ly f
l
n
m t
m t
ψ
ψ
= = =
ψ
ψ
ϑ
= = =
ϕ ϕ
ϕ
=
η + ζ ω Π ψ =
→∞
ϑ =
η + ζ ω Π
ω = π
π
= +
η = Ω ζ = Ω
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
(6)
Функциональные коэффициенты П
w
, П
ϑ
, используемые для вы-
полнения граничных условий, зависят от координат и в общем случае
от {
l
,
n
}.
Подстановка (6) в уравнения (3) и (4), дифференцирование и пе-
реразложение выражений в левых частях уравнений приводили к ря-
