А.М. Пылаев
2
первая же мода была не замечена и пропущена авторами, по-
видимому, вследствие малой интенсивности конвективного теплооб-
мена. Поэтому повышен интерес к аналитическим возможностям, бо-
лее удобным как в получении требуемой информации, так и в ее об-
работке.
Разработаны методика и программа решения задачи о нарушении
равновесия в полостях с несложным математическим описанием гра-
ницы и с осями симметрии, нормальными к ускорению массовых сил
(и оси
y
) или коллинеарными ему. При решении применена линейная
теория устойчивости к уравнениям конвекции в приближении Бус-
синеска [3] с подстановкой значений {
W
,
T
0
+
T
1
,
p
0
+
p
1
} для скоро-
сти (м/с), температуры (K) и давления (Па) и с приведением к без-
размерному виду. Для расстояния, температуры, скорости, времени и
давления выбраны масштабы
X
,
θ
0
X
,
a
/
X
,
X
2
/(
ν
a
)
0,5
,
νρ
0
a
/
X
2
последо-
вательно. Здесь и далее принято:
X
— габаритный размер (вдоль го-
ризонтальной оси, м);
θ
— равновесный градиент температуры, K/м;
a
— температуропроводность, м
2
/с;
ν
—кинематическая вязкость,
(м
2
/с;
ρ
— плотность, кг/м
3
;
α
— коэффициент теплоотдачи,
Вт/(м
2
·K); λ — теплопроводность, Вт/(м·K); индексы «0» или «1» со-
ответствуют равновесным значениям и возмущениям. Предусмотре-
ны случаи периодической модуляции последних или ускорения поля
массовых сил
g
, м
/с
2
:
g =
g
0
(1 +
χ
sin
Ω
t
);
θ
=
θ
0
(1 +
Γ
sin
Ω
t
),
(1)
где
χ
,
Ω
и
Γ
— безразмерный параметр модуляции, относительная
амплитуда и безразмерная частота.
Для анализа трехмерных течений из уравнений исключены воз-
мущение давления
p
1
и горизонтальные компоненты скорости
W
x
и
W
z
применением к векторному уравнению движения операции rot rot
и проецирования на ось
y
[3]
.
Для вертикальной компоненты
W
y
и
возмущения температуры
Т
1
использована подстановка:
T
1
/
ϑ
=
W
y
/
w
= cos
n
φ,
w = w
(
y
,
x
,
t
),
ϑ
=
ϑ
(
y
,
x
,
t
),
(2)
где
n
= 0, 1, 2 — волновое число. В итоге получены два уравнения (в
частных производных до 4-го порядка) для амплитуд {
F
} = {
w
,
ϑ
}:
ΔΔ
w
+ Ra
·
Δ
1
ϑ
(1 +
χ
sin
Ω
t
)
=
( )
w
t
∂ Δ
∂
Pr
–0,5
;
(3)
Δϑ
+
(1 +
Γ
sin
Ω
t
)
w =
t
∂ϑ
∂
Pr
0,5
;
Δ
1
φ
=
2
2
x
∂ ϕ
∂
– n
2
φ;
Δ
φ =
Δ
1
φ
+
2
2
.
y
∂ ϕ
∂
(4)
Здесь Pr — число Прандтля; в (2) и (4) φ — общее обозначение вели-
чин или их комплексов. В частности, в (2): φ
=
z
или φ
=
Φ в случаях
