В.С. Зарубин
находим
¯
l
13
= ¯
l
31
=
h
0
2
p
∫︁
0
3
2
p
∫︁
0
y
p
∫︁
0
(︀
l
o
1 11 13
+
l
o
2 21 23
+
l
o
3 31 33
) sin
j j
= 0
,
поскольку подынтегральная функция, согласно формулам (5), являет-
ся линейной комбинацией
sin
y
и
cos
y
. Аналогичная ситуация воз-
никает при вычислении
¯
l
31
= ¯
l
13
и
¯
l
23
= ¯
l
32
. В соотношении для
¯
l
12
= ¯
l
21
в подынтегральную функцию войдут слагаемые, содержа-
щие произведения
11 12
,
21 22
и
31 32
. Из формул (5) следует, что
эта функция будет линейной комбинацией
sin 2
3
и
sin 2
y
, при интег-
рировании это приведет к нулевому результату.
Таким образом, при хаотической ориентации анизотропных ча-
стиц, теплопроводность которых характеризует один и тот же тензор
второго ранга с главными значениями
l
o
, осреднение по всем ориен-
тациям таких частиц приводит к не зависящей от направления ска-
лярной характеристике, равной
¯
l
. Эту характеристику можно тракто-
вать как диагональный компонент изотропного тензора с компонента-
ми
¯
l
= ¯
ld
, а операцию осреднения заменить равенством первых
(линейных) инвариантов изотропного тензора и тензора теплопровод-
ности анизотропной частицы, т. е.
¯
l d
= 3 ¯
l
=
l
o
1
+
l
o
2
+
l
o
3
. Отметим,
что такой подход справедлив для частиц любой формы и размеров при
условии равномерного распределения анизотропных частиц в объеме
композита по всем возможным ориентациям главных осей их тензора
теплопроводности. Тогда при хаотической ориентации таких частиц
различного размера, заполняющих всю область, занятую рассматри-
ваемым композитом, тензор эффективной теплопроводности этого компо-
зита будет изотропным, а его эффективный коэффициент
l
*
теплопро-
водности с учетом формулы (1) можно представить в безразмерном виде
̃︀
l
*
=
l
*
l
=
1
3
3
∑︁
a
=1
̃︀
l
a
=
1
3
3
∑︁
a
=1
1 + (
̃︀
l
a
−
1)
(︀
o
a
+ (1
−
o
a
)
)︀
1 + (
̃︀
l
a
−
1)
o
a
(1
−
)
.
(16)
Текстурная функция.
Если ориентация частиц в композите упо-
рядочена, т. е. композит текстурирован, то относительная плотность
h
(
3
,
y
,
j
)
распределения частиц по ориентациям микроосей зависит
от угловых координат. В общем случае она может быть неоднород-
ной в рассматриваемом объеме композита, т. е. зависеть и от коор-
динат . В этом случае необходимо проводить осреднение не толь-
ко по ориентациям частиц, но и по объему композита. Если функция
h
(
3
,
y
,
j
)
не зависит от координат и удовлетворяет условию норми-
рования
⟨
h
⟩
= 1
/
(8
p
2
)
, то при осреднении характеристики частиц, вы-
ражаемой компонентами
l
(
3
,
y
,
j
)
тензора теплопроводности, вме-
6
