В.С. Зарубин
l
*
33
=
l
o
1
2
13
+
l
o
2
2
23
+
l
o
3
2
33
,
(9)
l
*
12
=
l
o
1 11 12
+
l
o
2 21 22
+
l
o
3 31 32
,
(10)
l
*
13
=
l
o
1 11 13
+
l
o
2 21 23
+
l
o
3 31 33
,
(11)
l
*
23
=
l
o
1 12 13
+
l
o
2 22 23
+
l
o
3 32 33
.
(12)
Непосредственной проверкой можно убедиться, что переход к макро-
осям не нарушает симметрии тензора эффективной теплопроводности
составной частицы, т. е.
l
*
21
=
l
*
12
,
l
*
31
=
l
*
13
и
l
*
32
=
l
*
23
.
Процедура осреднения.
Для оценки эффективных коэффициентов
теплопроводности композита в целом с конкретной заданной тексту-
рой необходимо сначала определить в общем виде процедуру осредне-
ния компонент
l
*
(
3
,
y
,
j
)
тензора эффективной теплопроводности от-
дельных составных частиц, зависящих, согласно формулам (5) и (7)–
(12), от углов
3
,
y
и
j
, определяющих ориентацию каждой из этих
частиц относительно макроосей
x
. Рассмотрим вариант случайной
(хаотической) ориентации составных частиц, при которой любое рас-
положение микроосей частиц относительно макроосей равновероят-
но. Выделим в композите объем с достаточно больш´им числом
S
составных эллипсоидальных частиц с одинаковым тензором теплоп-
роводности, компоненты которого заданы в микроосях, и случайной
(хаотической) ориентацией главных осей этого тензора.
При
S
→ ∞
можно считать, что любое расположение микроосей
равновероятно и относительная плотность
h
0
распределения мик-
рообъемов композита по возможным ориентациям этих осей имеет
постоянное значение. Следовательно, плотность распределения точек
пересечения единичной сферы микроосью
′
x
3
(см. рисунок) посто-
янна по ее поверхности, а совокупность включений, для которых
эта микроось расположена в пределах элементарного телесного угла
W
= sin
j j y
, равномерно распределена по углу
3
. Тогда в данной
совокупности доля объема частиц, для которой микроось
′
x
1
нахо-
дится в секторе с углом
3
, равна
h
0
W 3
. После интегрирования по
всем возможным ориентациям получим
∫︁
W
W
2
p
∫︁
0
h
0
3
=
h
0
2
p
∫︁
0
3
2
p
∫︁
0
y
p
∫︁
0
sin
j j
= 8
p
2
h
0
= 1
.
Отсюда следует, что
h
0
= 1
/
(8
p
2
)
.
Если включения обладают каким–либо свойством, заданным ска-
лярной величиной
(
3
,
y
,
j
)
, не зависящей в пределах рассматри-
ваемого объема композита от координат , то среднее значение этой
4
