В.С. Зарубин
изотропного материала матрицы, дала возможность получить оценки
для главных значений
l
o
a
(
a
= 1
,
2
,
3
) тензора эффективной теплопро-
водности композита в виде безразмерных соотношений
̃︀
l
o
a
=
l
o
a
l
=
1 + (
̃︀
l
a
−
1)
(︀
o
a
+ (1
−
o
a
)
)︀
1 + (
̃︀
l
a
−
1)
o
a
(1
−
)
,
(1)
где
̃︀
l
a
=
l
a
/
l
,
l
a
— главные значения тензора теплопроводности
включений;
o
a
=
1 2 3
2
∞
∫︁
0
(
2
a
+ ) ( )
;
(2)
l
— коэффициент теплопроводности матрицы (
a
— полуоси эллипсо-
ида и
( ) =
√︀
(
2
1
+ )(
2
2
+ )(
2
3
+ )
). Отметим, что сумма коэффи-
циентов
o
1
+
o
2
+
o
3
= 1
(в частности для шарового включения
o
a
= 1
/
3
). Интегралы в формуле (2) можно выразить через эллипти-
ческие интегралы [2, 3].
Построенную математическую модель композита [1] при отсут-
ствии непосредственного контакта между анизотропными эллипсои-
дальными включениями можно видоизменить применительно к ком-
позиту, состоящему из анизотропных составных эллипсоидальных
частиц, каждая из которых содержит такое включение, окруженное
изотропным материалом матрицы, и геометрически подобна ему по
форме с коэффициентом подобия
=
−
1
/
3
. Поскольку каждая такая
составная частица является представительным элементом структуры
композита с одинаковой ориентацией эллипсоидальных включений,
главные оси тензора эффективной теплопроводности такой частицы
соосны с ее осями симметрии, а главные значения
l
o
a
этого тензора
описываются формулой (1).
При наличии текстуры, определенной в прямоугольной декартовой
системе координат с осями
x
,
= 1
,
2
,
3
(макроосями), необходимо
для каждой составной частицы задать ориентацию ее осей симметрии
′
x
,
= 1
,
2
,
3
(микроосей) относительно макроосей. Эту ориента-
цию можно задать матрицей направляющих косинусов
=
⎛ ⎝
11 12 13
21 22 23
31 32 33
⎞ ⎠
,
(3)
элементы которой связаны дополнительным соотношением (с уче-
том используемого здесь и далее правила суммирования по повторя-
ющимся латинским индексам)
=
d
,
= 1
,
2
,
3
,
(4)
2
