Теплопроводность текстурированного композита с анизотропными. . .
величины для такого композита со случайной ориентацией включений
¯ =
h
0
2
p
∫︁
0
3
2
p
∫︁
0
y
p
∫︁
0
(
3
,
y
,
j
) sin
j j
=
⟨
h
0
⟩
.
(13)
При осреднении характеристик включений, выражаемых век-
торной величиной с проекциями
(
3
,
y
,
j
)
, заданными в микроосях
′
x
, необходимо предварительно перевести эти проекции в макро-
оси
x
по формуле
(
3
,
y
,
j
) = (
3
,
y
,
j
)
, а затем по аналогии
с формулой (13) записать
¯ =
h
0
2
p
∫︁
0
3
2
p
∫︁
0
y
p
∫︁
0
(
3
,
y
,
j
) sin
j j
=
⟨
h
0
⟩
=
⟨
h
0
⟩
.
В данном случае интерес представляет характеристика включений, за-
данная тензором второго ранга (тензором теплопроводности) с компо-
нентами
l
o
(
3
,
y
,
j
)
,
= 1
,
2
,
3
. Тогда с учетом их преобразования по
формуле
l
(
3
,
y
,
j
) =
l
o
(
3
,
y
,
j
)
операцию осреднения можно
представить в виде
¯
l
=
h
0
2
p
∫︁
0
3
2
p
∫︁
0
y
p
∫︁
0
l
o
(
3
,
y
,
j
) sin
j j
=
⟨
h
0
l
o
⟩
.
(14)
Поскольку в отдельно взятой составной частице компоненты тен-
зора эффективной теплопроводности не зависят от углов Эйлера, при
хаотической ориентации осей симметрии частиц формула (14) с уче-
том равенств
l
o
=
l
o
при
=
и
l
o
= 0
при
̸
=
принимает
вид
¯
l
=
h
0
2
p
∫︁
0
3
2
p
∫︁
0
y
p
∫︁
0
3
∑︁
a
=1
a a
l
o
a
sin
j j
.
(15)
Например, используя формулы (5), (9) и (15), при
= = 3
находим
¯
l
33
=
h
0
2
p
∫︁
0
3
2
p
∫︁
0
y
p
∫︁
0
(︀
l
o
1
(cos
3
sin
j
)
2
+
l
o
2
(sin
3
sin
j
)
2
+
l
o
3
cos
2
j
)︀
sin
j j
=
= (
l
o
1
+
l
o
2
+
l
o
3
)
/
3 = ¯
l
.
Такой же результат, но после более громоздких вычислений, можно
получить для
¯
l
11
и
¯
l
22
. Непосредственной проверкой можно убедить-
ся, что
¯
l
= 0
при
̸
=
. Например, с учетом формул (11) и (15)
5
