Оптимальное управление движением жидкости со свободной поверхностью
1
УДК 517.977, 519.626
Оптимальное управление движением жидкости
со свободной поверхностью
© А. А. Гурченков
1
, А. М. Романенков
2
1
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва 105005, Россия.
2
МАТИ РГТУ им. К.Э. Циолковского Москва 109387, Россия.
Проведен анализ слабовозмущенного движения твердого тела с поло-
стью, содержащей идеальную жидкость со свободной поверхностью
в ограниченном трехмерном пространстве. В предположении, что
свободная поверхность жидкости мало отклоняется от равновесной,
граничные условия снесены на равновесную поверхность. Решение за-
дачи представлено в виде обобщенного ряда Фурье, коэффициентами
которого являются неизвестные функции времени. Для определения
этих коэффициентов сформулирована задача Коши, которая решена
методом последовательных приближений. Поставлена задача опти-
мального управления с терминальным функционалом. С использовани-
ем формализма Гамильтона — Понтрягина получено численное реше-
ние задачи с интегральными ограничениями на управление типа нера-
венств. Представлены численные тесты, рассмотрен ряд примеров.
Ключевые слова
:
оптимальное управление, идеальная несжимаемая
жидкость, принцип максимума, симметричные и ассиметричные коле-
бания.
Найдем потенциал
( , , , )
x y z t
поля скоростей идеальной несжи-
маемой жидкости со свободной поверхностью
, ,
f x y t
в ограничен-
ном трехмерном пространстве, удовлетворяющий уравнению Лапласа в
области
:
, ,
: 0 ,
1, 0
, ,
,
x y z
x y
z f x y t
с граничными
условиями Неймана на границах области и двумя нелинейными
условиями на свободной поверхности [1]. Отметим, что область, в
которой справедливо уравнение Лапласа, не является стационарной
(решение не существует) [2].
Предположим, что колебания жидкости слабо возмущенные и
свободная поверхность мало отклоняется от равновесной, т. е. гра-
ничное условие можно перенести со свободной поверхности на рав-
новесную
( 1)
z
[3]. Тогда
0;
0
1
0
1
0
0;
0;
0.
x
x
y
y
z
x
x
y
y
z
(1)
