Оптимальное управление движением жидкости со свободной поверхностью - page 4

А.А. Гурченков, А.М. Романенков
4
Найдем третий интеграл:
   
 
 
2
2
2
0 0
0 0
1 cos cos
( ) cos cos cos cos
( ) cos cos cos cos .
z
z nk
n k
I
z nk
n k I
I
g u t f nx ky dxdy
g u t q t n x k y nx ky dxdy
g u t q t n x k y nx ky dxdy
 
   
 
   
    
 
      
 
   
 
 




  
  
  
   
   
Двойной интеграл равен некоторой константе  
, , C n k которая
зависит от n и , k т. е.
         
2
1 cos . cos ,
z z n
I
k g u t f nx ky dxdy g u t q t C n k        
      
Теперь вычислим первый интеграл:
   
2
1 1
0 0
cos cos cos . cos
I
x x u t x nx kydxdy u t ky dy x nx dx        
Очевидно, что
1
0
0, 0;
cos 1, 0;
k
ky dy k
 
     
1
0
1 1 1
0 0 0
1 1
cos sin sin sin x nx dx x d nx x nx nxdx
n n
 
     
 
 
      
 
   
 
1
0 2 2
2
1 cos 1
cos
0, 2 ;
2 , 2 1;
1 , 0,
2
n
nx
n n
n k
n k
n
n

  

 


   



 



 

где . k  